- Seja
uma função não definida em
.
a) Se
, mostre que
possui extensão continua em
.
a) Se
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função
cuja variável
se aproxima de um ponto
, mas em
a função não está definida. Sabe-se que
Queremos mostrar que existe uma função
definida em todo o domínio (incluindo
) que coincide com
fora de
e é contínua em
. Essa
é chamada de extensão contínua de
em
.
Passo 2
Definimos a extensão
Ou seja, em todos os pontos diferentes de
, e em
atribuímos o valor limite
.
Passo 3
Para ver que
é contínua em
, usamos a definição de continuidade: para todo
devemos achar
tal que, sempre que
, valha
.
Como
, existe
tal que, para todo
com
, temos
Mas para esses
vale
e
. Logo, sempre que
,
E, claro, para
temos
. Isso mostra que
é contínua em
.
Passo 4
Concluímos que
coincide com
em todo ponto diferente de
e que é contínua em
. Portanto
é uma extensão contínua de
em
.
Resposta
Definindo
obtém-se uma extensão contínua de
em
.