1. Seja f(x) uma função não definida em x_{0}.
    a) Se \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=L \in \mathbb{R}, mostre que f possui extensão continua em x_{0}.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função f cuja variável x se aproxima de um ponto x_{0}, mas em x_{0} a função não está definida. Sabe-se que
\lim_{x\to x_{0}} f(x)=L\in\mathbb{R}.
Queremos mostrar que existe uma função g definida em todo o domínio (incluindo x_{0}) que coincide com f fora de x_{0} e é contínua em x_{0}. Essa g é chamada de extensão contínua de f em x_{0}.

Passo 2

Definimos a extensão g\) de \(f\) por \[g(x)= \begin{cases} f(x),&x\neq x_{0},\\\ L,&x=x_{0}. \end{cases}
Ou seja, em todos os pontos diferentes de x_{0}\] mantemos \(g(x)=f(x), e em x_{0} atribuímos o valor limite L.

Passo 3

Para ver que g é contínua em x_{0}, usamos a definição de continuidade: para todo \varepsilon>0 devemos achar \delta>0 tal que, sempre que \lvert x - x_{0}\rvert<\delta, valha \lvert g(x)-g(x_{0})\rvert<\varepsilon.
Como \lim_{x\to x_{0}}f(x)=L, existe \delta>0 tal que, para todo x com 0<\lvert x-x_{0}\rvert<\delta, temos
\lvert f(x)-L\rvert<\varepsilon.
Mas para esses x\neq x_{0} vale g(x)=f(x) e g(x_{0})=L. Logo, sempre que 0<\lvert x-x_{0}\rvert<\delta,
\lvert g(x)-g(x_{0})\rvert =\lvert f(x)-L\rvert <\varepsilon.
E, claro, para x=x_{0} temos \lvert g(x_{0})-g(x_{0})\rvert=0<\varepsilon. Isso mostra que g é contínua em x_{0}.

Passo 4

Concluímos que g coincide com f em todo ponto diferente de x_{0} e que é contínua em x_{0}. Portanto g é uma extensão contínua de f em x_{0}.

Resposta

Definindo
g(x)= \begin{cases} f(x),&x\neq x_{0},\\\ L,&x=x_{0}, \end{cases}
obtém-se uma extensão contínua de f em x_{0}.

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