Seja
dada por
.
(a) Calcule o comprimento do gráfico de
entre
e
.
(b) Calcule
(a) Calcule o comprimento do gráfico de
(b) Calcule
Passo 1
O enunciado define a função
por
. Na parte (a) precisamos achar o comprimento do arco de
de
até
, então vamos usar a fórmula de comprimento de curva
. Na parte (b) temos um limite do tipo
quando
, que é um caso clássico para aplicar regra de L’Hôpital ou o diferencial de função composta.
Passo 2
Pela Regra Fundamental do Cálculo, o derivado de
é
. Para o comprimento de arco usamos
Substituindo
temos
Logo o integrando fica
.
Passo 3
Portanto o comprimento é
Passo 4
Para o item (b) considere
Como
é constante e
, aplicamos regra de L’Hôpital diferenciando numerador e denominador:
- Numerador:
- Denominador:
Então
Avaliando em
:
Resposta
a)
b)