Seja F(x)=integral1^x raizt^3-1 d t dada por F.
(a) Calcule o comprimento do gráfico de x=1 entre x=4 e .
(b) Calcule

Passo 1

O enunciado define a função F:[1,+infty[to R por F(x)=integral1^xraizt^3-1,dt. Na parte (a) precisamos achar o comprimento do arco de y=F(x) de x=1 até x=4, então vamos usar a fórmula de comprimento de curva y=f(x). Na parte (b) temos um limite do tipo F(x^3)-F(8)sin(x-2) quando xto2, que é um caso clássico para aplicar regra de L’Hôpital ou o diferencial de função composta.

Passo 2

Pela Regra Fundamental do Cálculo, o derivado de F é F'(x)=raizx^3-1. Para o comprimento de arco usamos
s=integral1^4raiz1+l(F'(x)r)^2,dx
Substituindo F'(x) temos
1+l(F'(x)r)^2=1+(x^3-1)=x^3
Logo o integrando fica raizx^3=x^3/2.

Passo 3

Portanto o comprimento é
s=integral1^4x^3/2,dx= l[25x^5/2r]1^4= 25l(4^5/2-1^5/2r)= 25(32-1)=625

Passo 4

Para o item (b) considere
L=limxto2F(x^3)-F(8)sin(x-2)
Como F(8) é constante e 8=2^3, aplicamos regra de L’Hôpital diferenciando numerador e denominador:
  • Numerador: ddxF(x^3)=F'(x^3)cdot3x^2=raiz(x^3)^3-1,3x^2=3x^2raizx^9-1
  • Denominador: ddxsin(x-2)=cos(x-2)
    Então
L=limxto23x^2raizx^9-1cos(x-2)
Avaliando em x=2: 3cdot2^2raiz2^9-1,/cos0=12raiz511

Resposta

a) 625 b) 12raiz511

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