Seja
no intervalo
, com extensão
-periódica. Determine a série de Fourier de
em
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida em
e pede a série de Fourier dessa função quando estendida
-periódicamente. Informações relevantes fornecidas:
- A função vale
para . - A extensão periódica tem período
. - A tarefa é determinar a série de Fourier de
nesse intervalo (ou seja, os coeficientes e a forma da série).
Passo 2
Para qualquer função
-periódica integrável, a série de Fourier geral é
onde os coeficientes são dados por
Vou calcular
,
e
passo a passo. Antes de integrar, é útil analisar a paridade de
:
é função ímpar, ou seja,
. Isso simplifica várias integrais.
Passo 3
Cálculo de
.
Como é ímpar, o integrando em
Como
é uma função ímpar integrada em um intervalo simétrico em torno de zero. Integrais de funções ímpares em intervalos simétricos são zero. Logo
Passo 4
Cálculo de
para
.
Temos
Temos
Aqui
é ímpar e
é par, então o produto
é ímpar. Novamente integrando uma função ímpar em intervalo simétrico obtemos zero. Portanto
Passo 5
Cálculo de
para
.
Começamos com a definição
Começamos com a definição
Agora
é ímpar e
também é ímpar, então o produto
é par. Assim podemos escrever
Para calcular
usamos integração por partes. Lembre a fórmula de integração por partes:
Escolhemos
(para simplificar ao derivar) e
. Então
e uma primitiva de
é
. Aplicando:
Passo 6
Avaliação dos limites na integral definida de
a
.
Usando o resultado da integração por partes,
Usando o resultado da integração por partes,
Agora
e
, portanto os termos com
desaparecem. Restam apenas os termos com
:
Substituindo na expressão de
,
Como
, isso fica
Passo 7
Montagem da série de Fourier.
Já que e
para todo
, a série de Fourier consiste apenas em termos senoidais com coeficientes
. Assim
Já que
Portanto a série é
para
. (Para os pontos
a série converge para o valor médio dos limites laterais, que é
.)
Resposta
(convergindo para
em
e para
em
).