Seja f(x)=x no intervalo [-\pi, \pi], com extensão 2 \pi-periódica. Determine a série de Fourier de f em [-\pi, \pi].

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x definida em [-\pi,\pi] e pede a série de Fourier dessa função quando estendida 2\pi-periódicamente. Informações relevantes fornecidas:
  • A função vale \,f(x)=x\, para x\in[-\pi,\pi].
  • A extensão periódica tem período 2\pi.
  • A tarefa é determinar a série de Fourier de f nesse intervalo (ou seja, os coeficientes e a forma da série).

Passo 2

Para qualquer função 2\pi-periódica integrável, a série de Fourier geral é
\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx)\right),
onde os coeficientes são dados por
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx,
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx\quad\text{para }n\ge1,
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx\quad\text{para }n\ge1.
Vou calcular a_0, a_n e b_n passo a passo. Antes de integrar, é útil analisar a paridade de f: f(x)=x é função ímpar, ou seja, f(-x)=-f(x). Isso simplifica várias integrais.

Passo 3

Cálculo de a_0.
Como f é ímpar, o integrando em
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\,dx
é uma função ímpar integrada em um intervalo simétrico em torno de zero. Integrais de funções ímpares em intervalos simétricos são zero. Logo
a_0=0.

Passo 4

Cálculo de a_n para n\ge1.
Temos
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\cos(nx)\,dx.
Aqui x é ímpar e \cos(nx) é par, então o produto x\cos(nx) é ímpar. Novamente integrando uma função ímpar em intervalo simétrico obtemos zero. Portanto
a_n=0\quad\text{para todo }n\ge1.

Passo 5

Cálculo de b_n para n\ge1.
Começamos com a definição
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x\sin(nx)\,dx.
Agora x é ímpar e \sin(nx) também é ímpar, então o produto x\sin(nx) é par. Assim podemos escrever
b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx.
Para calcular \int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx usamos integração por partes. Lembre a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolhemos u=x (para simplificar ao derivar) e dv=\sin(nx)\,dx. Então du=dx e uma primitiva de \sin(nx) é v=-\dfrac{\cos(nx)}{n}. Aplicando:
\int x\sin(nx)\,dx = -\frac{x\cos(nx)}{n} + \int \frac{\cos(nx)}{n}\,dx = -\frac{x\cos(nx)}{n} + \frac{\sin(nx)}{n^2}.

Passo 6

Avaliação dos limites na integral definida de 0 a \pi.
Usando o resultado da integração por partes,
\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx = \left[-\frac{x\cos(nx)}{n} + \frac{\sin(nx)}{n^2}\right]_{0}^{\pi}.
Agora \sin(n\pi)=0 e \sin(0)=0, portanto os termos com \sin desaparecem. Restam apenas os termos com \cos:
\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx = -\frac{\pi\cos(n\pi)}{n} - \left( -\frac{0\cdot\cos(0)}{n}\right) = -\frac{\pi\cos(n\pi)}{n}.
Substituindo na expressão de b_n,
b_n=\frac{2}{\pi}\left(-\frac{\pi\cos(n\pi)}{n}\right) = -\frac{2\cos(n\pi)}{n}.
Como \cos(n\pi)=(-1)^n, isso fica
b_n = -\frac{2(-1)^n}{n} = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}.

Passo 7

Montagem da série de Fourier.
Já que a_0=0 e a_n=0 para todo n, a série de Fourier consiste apenas em termos senoidais com coeficientes b_n. Assim
f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin(nx) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx).
Portanto a série é
\boxed{\,f(x)=x \sim 2\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{\sin(nx)}{n}\,}
para x\in(-\pi,\pi). (Para os pontos x=\pm\pi a série converge para o valor médio dos limites laterais, que é 0.)

Resposta

f(x)=x \sim 2\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}\frac{\sin(nx)}{n}
(convergindo para x em (-\pi,\pi) e para 0 em x=\pm\pi).

Exercícios relacionados