Calcule a integral de linha por comprimento de arco
\int_{C} y^{3}+\cos \left(\pi\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}\right) d s
onde C é a curva dada pelo menor arco do círculo x^{2}+y^{2}=3 entre (\sqrt{3}, 0) e (0, \sqrt{3}).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha por comprimento de arco
\int_{C} y^{3}+\cos\!\bigl(\pi(x^{2}+y^{2})^{2}\bigr)\,ds
onde C é o menor arco do círculo x^{2}+y^{2}=3 entre (\sqrt{3},0) e (0,\sqrt{3}).
Informações relevantes dadas:
  • A curva C está em um círculo de raio \sqrt{3}, pois x^{2}+y^{2}=3.
  • Os pontos finais (\sqrt{3},0) e (0,\sqrt{3}) correspondem, na parametrização por ângulo, aos ângulos 0 e \tfrac{\pi}{2}.
  • A função a integrar ao longo da curva é f(x,y)=y^{3}+\cos\!\bigl(\pi(x^{2}+y^{2})^{2}\bigr).
  • A integral é do tipo \displaystyle\int_{C} f(x,y)\,ds, ou seja, integral de uma função escalar ao longo de uma curva com o elemento de comprimento ds.

Passo 2

Escolhemos parametrizar o arco do círculo por ângulo (método natural para círculos). A parametrização padrão do círculo de raio \sqrt{3} é
x(t)=\sqrt{3}\cos t,\qquad y(t)=\sqrt{3}\sin t.
Como queremos o menor arco entre (\sqrt{3},0) e (0,\sqrt{3}), tomamos o parâmetro t variando de 0 até \tfrac{\pi}{2}. Assim
t\in\bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr].
Explicando por que isso funciona: quando t=0 temos x=\sqrt{3}, y=0; quando t=\tfrac{\pi}{2} temos x=0, y=\sqrt{3}. Entre esses valores de t descrevemos o arco menor no sentido anti-horário.

Passo 3

Agora calculamos o elemento de comprimento ds. Para uma parametrização (x(t),y(t)),
ds=\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}}\,dt.
Derivando:
x'(t)=-\sqrt{3}\sin t,\qquad y'(t)=\sqrt{3}\cos t.
Logo
\bigl(x'(t)\bigr)^{2}+\bigl(y'(t)\bigr)^{2}=3\sin^{2}t+3\cos^{2}t=3(\sin^{2}t+\cos^{2}t)=3.
Como \sin^{2}t+\cos^{2}t=1. Portanto
ds=\sqrt{3}\,dt.
Comentário didático: para curvas com raio constante r parametrizadas por ângulo, é comum obter ds=r\,dt, porque a velocidade tem módulo r.

Passo 4

Substituímos a parametrização na função f.
Primeiro, y^{3} ao longo da curva:
y(t)^{3}=\bigl(\sqrt{3}\sin t\bigr)^{3}=(\sqrt{3})^{3}\sin^{3}t=3\sqrt{3}\sin^{3}t.
Segundo, a parte \cos\!\bigl(\pi(x^{2}+y^{2})^{2}\bigr). Observamos que ao longo do círculo
x^{2}+y^{2}=3,
portanto
\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}=3^{2}=9.
Assim a expressão dentro do cosseno é constante:
\cos\!\bigl(\pi\cdot 9\bigr)=\cos(9\pi).
Usando a periodicidade do cosseno ( \cos(\theta+2k\pi)=\cos\theta), temos \cos(9\pi)=\cos(\pi)=-1. Então a parte do cosseno é a constante -1.
Logo, a função integranda ao longo da parametrização fica
f\bigl(x(t),y(t)\bigr)=3\sqrt{3}\sin^{3}t - 1.

Passo 5

Multiplicamos a função parametrizada por ds para obter a integral em termos de t:
f\bigl(x(t),y(t)\bigr)\,ds=\bigl(3\sqrt{3}\sin^{3}t - 1\bigr)\cdot\sqrt{3}\,dt.
Fazendo as multiplicações:
3\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}\sin^{3}t=3\cdot 3\sin^{3}t=9\sin^{3}t,
e
-1\cdot\sqrt{3}=-\sqrt{3}.
Portanto o integrando em t é
9\sin^{3}t - \sqrt{3}.

Passo 6

Montamos a integral definida em t:
\int_{C} f(x,y)\,ds=\int_{0}^{\pi/2}\bigl(9\sin^{3}t-\sqrt{3}\bigr)\,dt.
Separamos em duas integrais:
\int_{0}^{\pi/2}9\sin^{3}t\,dt \;-\; \int_{0}^{\pi/2}\sqrt{3}\,dt.

Passo 7

Calculamos a integral \displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}t\,dt. Usamos a identidade \sin^{3}t=\sin t(1-\cos^{2}t) e substituição u=\cos t, du=-\sin t\,dt.
Detalhando:
\int \sin^{3}t\,dt=\int \sin t\,dt - \int \sin t\cos^{2}t\,dt.
Para \int \sin t\cos^{2}t\,dt, seja u=\cos t então du=-\sin t\,dt, logo
\int \sin t\cos^{2}t\,dt = -\int u^{2}\,du = -\frac{u^{3}}{3} = -\frac{\cos^{3}t}{3}.
E \int \sin t\,dt = -\cos t. Portanto, em primitiva,
\int \sin^{3}t\,dt = -\cos t + \frac{\cos^{3}t}{3} + C.
Avaliação de 0 a \tfrac{\pi}{2}:
  • Em t=\tfrac{\pi}{2}, \cos t=0, então a primitiva vale 0.
  • Em t=0, \cos t=1, então a primitiva vale -1+\tfrac{1}{3}=-\tfrac{2}{3}.
Portanto
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}t\,dt = 0 - \bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)=\tfrac{2}{3}.

Passo 8

Voltando às integrais separadas:
  • Para a primeira: \displaystyle 9\int_{0}^{\pi/2}\sin^{3}t\,dt = 9\cdot \tfrac{2}{3} = 6.
  • Para a segunda: \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\sqrt{3}\,dt = \sqrt{3}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi\sqrt{3}}{2}.
Esses são os valores das duas parcelas que compõem a integral original.

Resposta

6-\dfrac{\pi\sqrt{3}}{2}

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