Calcule a integral de linha por comprimento de arco
onde
é a curva dada pelo menor arco do círculo
entre
e
.
onde
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha por comprimento de arco
onde
é o menor arco do círculo
entre
e
.
Informações relevantes dadas:
- A curva
está em um círculo de raio , pois . - Os pontos finais
e correspondem, na parametrização por ângulo, aos ângulos e . - A função a integrar ao longo da curva é
. - A integral é do tipo
, ou seja, integral de uma função escalar ao longo de uma curva com o elemento de comprimento .
Passo 2
Escolhemos parametrizar o arco do círculo por ângulo (método natural para círculos). A parametrização padrão do círculo de raio
é
Como queremos o menor arco entre
e
, tomamos o parâmetro
variando de
até
. Assim
Explicando por que isso funciona: quando
temos
,
; quando
temos
,
. Entre esses valores de
descrevemos o arco menor no sentido anti-horário.
Passo 3
Agora calculamos o elemento de comprimento
. Para uma parametrização
,
Derivando:
Logo
Como
. Portanto
Comentário didático: para curvas com raio constante
parametrizadas por ângulo, é comum obter
, porque a velocidade tem módulo
.
Passo 4
Substituímos a parametrização na função
.
Primeiro,
ao longo da curva:
Segundo, a parte
. Observamos que ao longo do círculo
portanto
Assim a expressão dentro do cosseno é constante:
Usando a periodicidade do cosseno (
), temos
. Então a parte do cosseno é a constante
.
Logo, a função integranda ao longo da parametrização fica
Passo 5
Multiplicamos a função parametrizada por
para obter a integral em termos de
:
Fazendo as multiplicações:
e
Portanto o integrando em
é
Passo 6
Montamos a integral definida em
:
Separamos em duas integrais:
Passo 7
Calculamos a integral
. Usamos a identidade
e substituição
,
.
Detalhando:
Para
, seja
então
, logo
E
. Portanto, em primitiva,
Avaliação de
a
:
- Em
, , então a primitiva vale . - Em
, , então a primitiva vale .
Portanto
Passo 8
Voltando às integrais separadas:
- Para a primeira:
- Para a segunda:
Esses são os valores das duas parcelas que compõem a integral original.