- Questāo 1.

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a) ( 0,5 \mathrm{pt} ) Enuncie o criério M de Weierstrass.
b) (1,5 \mathrm{pt}) Mostre que a série de funções \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{3} \cos \left(3 e^{n} x\right)}{x^{2 n}+n^{3}+1} é uniformemente convergente em [0,3].

Passo 1

O enunciado tem duas partes:
(a) pede que eu enuncie o critério de Weierstrass (o chamado "teste de M");
(b) pede para mostrar que a série de funções
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{3}\cos\bigl(3e^{n}x\bigr)}{x^{2n}+n^{3}+1}
é uniformemente convergente no intervalo [0,3].
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
f_n(x)=\frac{x^{3}\cos\bigl(3e^{n}x\bigr)}{x^{2n}+n^{3}+1},\qquad x\in[0,3],\; n\in\mathbb{N}.
Não há outras figuras ou tabelas. O objetivo é aplicar um critério de convergência uniforme (provavelmente o critério M) e concluir a convergência uniforme da série em [0,3].

Passo 2

Antes de enunciar o critério M, vamos lembrar com calma o que significa “convergência uniforme” de uma série de funções — isso ajuda a entender o porquê do critério funcionar.
Definição (intuição + precisa): dizer que a série \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) converge uniformemente em um conjunto E significa que a soma parcial
S_N(x)=\sum_{n=1}^{N} f_n(x)
se aproxima da soma limite S(x) de maneira uniforme em x\in E. Em termos \varepsilon-delta: para todo \varepsilon>0 existe N tal que, para todo m\ge N e para todo x\in E,
\left|\sum_{n=N+1}^{m} f_n(x)\right|<\varepsilon.
Ou seja, o índice N que garante a pequena cauda da série não depende de x. Isso é exatamente o que queremos provar para a série do item (b).

Passo 3

Agora enuncio o critério de Weierstrass (teste de M) de forma clara e didática.
Enunciação do critério M de Weierstrass:
Seja E um conjunto e sejam f_n:E\to\mathbb{R} (ou \mathbb{C}). Se existe uma sequência de números não-negativos (M_n)_{n\ge1} tal que, para todo x\in E e todo n,
|f_n(x)|\le M_n,
e se a série numérica \sum_{n=1}^{\infty} M_n converge, então a série de funções \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) converge uniformemente e absolutamente em E.
Explicação rápida do porquê (intuição): como |f_n(x)|\le M_n, a cauda da série de funções tem módulo menor ou igual à cauda da série numérica \sum M_n. Como \sum M_n é convergente, suas caudas podem ser tornadas arbitrariamente pequenas com um N que não depende de x. Isso transfere a uniformidade para a série de funções.

Passo 4

Vamos aplicar o critério M ao item (b). Primeiro identifiquemos claramente os termos da série:
f_n(x)=\frac{x^{3}\cos\bigl(3e^{n}x\bigr)}{x^{2n}+n^{3}+1}.
Queremos encontrar uma sequência (M_n) independente de x tal que |f_n(x)|\le M_n para todo x\in[0,3] e tal que \sum M_n convirja.

Passo 5

Começamos a estimar |f_n(x)| de forma direta, usando desigualdades simples que já conhece:
  1. Sabemos que, para qualquer real t,
|\cos t|\le 1.
Logo
\bigl|x^{3}\cos\bigl(3e^{n}x\bigr)\bigr|\le |x|^{3}.
  1. Para x\in[0,3] temos |x|\le 3, então
|x|^{3}\le 3^{3}=27.
  1. No denominador temos x^{2n}+n^{3}+1. Como x^{2n}\ge0 para todo x, segue que, para todo x\in[0,3],
x^{2n}+n^{3}+1 \ge n^{3}+1.
Combinando tudo:
|f_n(x)|=\left|\frac{x^{3}\cos\bigl(3e^{n}x\bigr)}{x^{2n}+n^{3}+1}\right| \le \frac{|x|^{3}}{x^{2n}+n^{3}+1} \le \frac{27}{n^{3}+1}.
Portanto uma escolha natural é
M_n=\frac{27}{n^{3}+1}.
Isso satisfaz |f_n(x)|\le M_n para todo x\in[0,3] e todo n.

Passo 6

Agora verificamos a convergência da série numérica \sum_{n=1}^{\infty} M_n. Temos
M_n=\frac{27}{n^{3}+1}\le \frac{27}{n^{3}} \quad\text{para } n\ge1.
A série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}} é uma série p- com p=3>1, portanto converge. Pela comparação com a série convergente 27\sum n^{-3}, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty} M_n
converge.

Passo 7

Aplicando o critério M (enunciado no Passo 3): como existe (M_n) com |f_n(x)|\le M_n para todo x\in[0,3] e \sum M_n converge, segue que a série
\sum_{n=1}^{\infty} f_n(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{3}\cos\bigl(3e^{n}x\bigr)}{x^{2n}+n^{3}+1}
converge uniformemente em [0,3]. Além disso, a convergência é absoluta (pois \sum M_n converge).

Resposta

(a) Se existirem constantes não-negativas (M_n)_{n\ge1} tais que, para todo x no conjunto considerado e todo n,
|f_n(x)|\le M_n
e tal que a série numérica \sum_{n=1}^{\infty} M_n converge, então a série de funções \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) converge uniformemente (e absolutamente) nesse conjunto.\
(b) A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{3}\cos\bigl(3e^{n}x\bigr)}{x^{2n}+n^{3}+1} converge uniformemente (e absolutamente) em [0,3] (pelo critério M com M_n=27/(n^{3}+1), e \sum M_n converge por comparação com \sum 27/n^{3}).

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