Seja
f(x)=\left\{\begin{array}{lll} 2-x & \text { se } & x \leq 1 \\\ x^{2}-2 x+2 & \text { se } & x>1 \end{array}\right.
f é diferenciável em 1 ?

Passo 1

O enunciado define
f(x)= \begin{cases} 2 - x, & x \le 1,\\\ x^{2} - 2x + 2, & x > 1, \end{cases}
e pergunta se f é diferenciável em x=1. Para isso, precisamos verificar dois pontos: continuidade em x=1 e igualdade das derivadas laterais em x=1.

Passo 2

Verificamos a continuidade calculando os limites laterais e o valor da função em x=1:
\lim_{x\to1^-}f(x)=2-1=1,
\lim_{x\to1^+}f(x)=1^2-2\cdot1+2=1,
e
f(1)=2-1=1.
Como todos os valores coincidem em 1, f é contínua em x=1.

Passo 3

Calculamos a derivada lateral pela esquerda. Para x<1, f(x)=2-x e
f'(x)=-1.
Logo,
f'(1^-)= -1.

Passo 4

Calculamos a derivada lateral pela direita. Para x>1, f(x)=x^2-2x+2 e
f'(x)=2x-2.
Portanto,
f'(1^+)=2\cdot1-2=0.

Passo 5

Como
f'(1^-)= -1 \quad\text{e}\quad f'(1^+)=0,
as derivadas laterais em x=1 são diferentes, logo f não é diferenciável em x=1.

Resposta

Não. f não é diferenciável em x=1.

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