Calcule a derivada:
\frac{x^{3}+x}{x^{4}-2}

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a derivada da função racional
f(x) = \frac{x^{3} + x}{x^{4} - 2}.
O conteúdo da matéria é derivada de funções racionais, e vamos usar a regra do quociente, além das derivadas de potências.

Passo 2

Definimos as funções
u(x) = x^{3} + x, \quad v(x) = x^{4} - 2.
Pela regra do quociente,
f'(x) = \frac{u'(x)\,v(x) - u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}}.

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v usando a regra da potência:
u'(x) = 3x^{2} + 1, \quad v'(x) = 4x^{3}.

Passo 4

Substituindo em
f'(x) = \frac{(3x^{2}+1)(x^{4}-2) - (x^{3}+x)\,(4x^{3})}{(x^{4}-2)^{2}}.

Passo 5

Expandindo e simplificando o numerador:
(3 x^{2} +1)( x^{4}−2) =3 x^{6}+ x^{4}−6 x^{2} 24 x^{3}( x^{3}+x) =4 x^{6} +4 x^{4}
Logo o numerador fica
3x^{6}+x^{4}-6x^{2}-2 \;-\;(4x^{6}+4x^{4}) = -x^{6}-3x^{4}-6x^{2}-2 = -(x^{6}+3x^{4}+6x^{2}+2).

Resposta

f'(x) = \frac{-(x^{6}+3x^{4}+6x^{2}+2)}{(x^{4}-2)^{2}}.

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