Seja
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Mostre que
é ímpar.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função $ f(x) = \ln \left(x + \sqrt{x^{2}+1}\right) $ é ímpar. Isso envolve conceitos de funções ímpares e propriedades dos logaritmos. Para resolver, vamos precisar verificar se $ f(-x) = -f(x) $.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular $ f(-x) $. Substituindo $ x $ por $ -x $ na função:
Como $ (-x)^{2} = x^{2} $, fica:
Passo 3
Agora, observe que $ \sqrt{x^{2}+1} $ é sempre positivo, então podemos reescrever a expressão dentro do logaritmo:
Passo 4
Tem uma propriedade interessante dos radicais que vamos usar aqui:
Isso significa que:
Passo 5
Substituindo isso na expressão de $ f(-x) $:
E usando a propriedade dos logaritmos que diz $ \ln\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln(a) $, temos:
Passo 6
Lembre-se que a função original é:
Então, substituindo na expressão de $ f(-x) $:
Resposta
Assim, mostramos que $ f(-x) = -f(x) $, o que confirma que a função $ f(x) = \ln \left(x + \sqrt{x^{2}+1}\right) $ é ímpar.