Seja f(x)=ln (x+raizx^2+1).
Mostre que f é ímpar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função $ f(x) = \ln \left(x + \sqrt{x^{2}+1}\right) $ é ímpar. Isso envolve conceitos de funções ímpares e propriedades dos logaritmos. Para resolver, vamos precisar verificar se $ f(-x) = -f(x) $.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular $ f(-x) $. Substituindo $ x $ por $ -x $ na função:
f(-x)
Como $ (-x)^{2} = x^{2} $, fica:
x

Passo 3

Agora, observe que $ \sqrt{x^{2}+1} $ é sempre positivo, então podemos reescrever a expressão dentro do logaritmo:
raizx^2+1

Passo 4

Tem uma propriedade interessante dos radicais que vamos usar aqui:
raizx^2+1 + x = 1raizx^2+1 - x
Isso significa que:
raizx^2+1 - x = 1raizx^2+1 + x

Passo 5

Substituindo isso na expressão de $ f(-x) $:
f(-x)
E usando a propriedade dos logaritmos que diz $ \ln\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln(a) $, temos:
f(-x) = ln (1raizx^2+1 + x)

Passo 6

Lembre-se que a função original é:
f(x) = ln (x + raizx^2+1)
Então, substituindo na expressão de $ f(-x) $:
f(-x)

Resposta

Assim, mostramos que $ f(-x) = -f(x) $, o que confirma que a função $ f(x) = \ln \left(x + \sqrt{x^{2}+1}\right) $ é ímpar.

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