Se A(t)=t i-t^2 j+(t-1) k e B(t)=2 t^2 i+6 t k, calcular:
integral0^2 A cdot B d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções vetoriais, A(t) e B(t), e precisamos calcular a integral do produto escalar delas de t = 0 até t = 2. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente produtos escalares e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as duas funções vetoriais que a gente tem:
A(t) = t,i - t^2,j + (t-1),k
B(t) = 2t^2,i + 6t,k
Aqui, i, j e k são os vetores unitários nas direções dos eixos x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar A cdot B. O produto escalar de dois vetores é dado pela soma dos produtos das componentes correspondentes:
A cdot B = (Ax)(Bx) + (Ay)(By) + (Az)(Bz)
Vamos identificar as componentes:
  • Ax = t
  • Ay = -t^2
  • Az = t - 1
  • Bx = 2t^2
  • By = 0 (porque não tem componente j em B(t))
  • Bz = 6t
Substituindo na fórmula:
A cdot B = t cdot 2t^2 + (-t^2) cdot 0 + (t - 1) cdot 6t
Simplificando:
A cdot B = 2t^3 + 0 + 6t(t - 1) = 2t^3 + 6t^2 - 6t

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral dessa expressão de t = 0 até t = 2:
integral0^2 A cdot B , dt = integral0^2 (2t^3 + 6t^2 - 6t) , dt
Integrando termo a termo:
integral 2t^3 , dt = 24t^4 = 12t^4
integral 6t^2 , dt = 63t^3 = 2t^3
integral -6t , dt = -62t^2 = -3t^2
Então, a integral fica:
12t^4 + 2t^3 - 3t^2 gr|0^2

Passo 5

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração, de t = 0 até t = 2:
Para t = 2:
12(2)^4 + 2(2)^3 - 3(2)^2 = 12(16) + 2(8) - 3(4) = 8 + 16 - 12 = 12
Para t = 0:
12(0)^4 + 2(0)^3 - 3(0)^2 = 0 + 0 - 0 = 0
Subtraindo os valores:
12 - 0 = 12

Resposta

O valor da integral integral0^2 A cdot B , dt é 12.

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