Beleza, vamos lá! A gente tem duas funções vetoriais, e , e precisamos calcular a integral do produto escalar delas de até . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente produtos escalares e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as duas funções vetoriais que a gente tem:
Aqui, , e são os vetores unitários nas direções dos eixos , e , respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto escalar . O produto escalar de dois vetores é dado pela soma dos produtos das componentes correspondentes:
Vamos identificar as componentes:
(porque não tem componente em )
Substituindo na fórmula:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral dessa expressão de até :
Integrando termo a termo:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração, de t = 0 até t = 2: