(2,0) Seja f(x)=lx^2, se x <= 1 1, se x>1
f é derivável em 1 ?

Passo 1

Enunciado: temos a função por partes
f(x)=x^2, & x<=11,& x>1
Queremos saber se f é derivável em x=1. O conteúdo envolve derivabilidade de função definida por partes e vamos precisar usar a definição de derivada, o conceito de continuidade e derivadas laterais.

Passo 2

Primeiro verificamos se f é contínua em x=1, pois derivabilidade implica continuidade. Calculamos
limxto1^-f(x)=limxto1^-x^2=1,
limxto1^+f(x)=limxto1^+1=1,
e f(1)=1. Como ambos os limites laterais coincidem com f(1), a função é contínua em x=1.

Passo 3

Agora calculamos a derivada lateral à esquerda em x=1:
f'-(1)=limhto0^-f(1+h)-f(1)h =limhto0^-(1+h)^2-1h =limhto0^-1+2h+h^2-1h =limhto0^-(2+h)=2

Passo 4

Em seguida, a derivada lateral à direita em x=1 é
f'+(1)=limhto0^+f(1+h)-f(1)h =limhto0^+1-1h=0

Passo 5

Como as derivadas laterais não coincidem ( 2neq0), o limite do quociente incremental não existe em x=1. Logo, f não é derivável em x=1.

Resposta

Não, f não é derivável em x=1.

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