Seja f: X \rightarrow \mathbb{R} contínua, definida num subconjunto X \subset \mathbb{R}. Para todo k \in \mathbb{R} o conjunto dos pontos x \in X tais que f(x) \leq k tem a forma F \cap X, onde F é fechado. Resultado análogo vale para o conjunto dos pontos x \in X, tais que f(x)=k e para o conjunto dos pontos x \in X, nos quais duas funções contínuas f, g: X \rightarrow \mathbb{R} assumem valores iguais. Em particular, se X é fechado então esses três conjuntos são fechados.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (resumido e claro).
Dado: f:X\to\mathbb{R} é contínua e X\subset\mathbb{R} (com a topologia de subespaço).
Para todo k\in\mathbb{R} devemos mostrar que o conjunto \{x\in X:\;f(x)\le k\} tem a forma F\cap X onde F\subset\mathbb{R} é fechado.
Também pediram o resultado análogo para \{x\in X:\;f(x)=k\} e para \{x\in X:\;f(x)=g(x)\} quando f,g são contínuas.
Em particular, quando X é fechado em \mathbb{R}, concluir que esses conjuntos são fechados (em \mathbb{R}, portanto também fechados em X).
Passo 2
Lembrete útil e simples sobre continuidade e pré-imagens de conjuntos fechados.
Definição prática: f é contínua se para toda parte aberta U\subset\mathbb{R} a pré-imagem f^{-1}(U) é aberta em X.
Da definição segue imediatamente que, para qualquer conjunto fechado C\subset\mathbb{R}, a pré-imagem f^{-1}\text{(C)} é fechada em X. A razão: o complementar de C é aberto, então a pré-imagem do complementar é aberta, e a pré-imagem de C é o complementar dessa pré-imagem.
Conclusão prática que vamos usar: se C é fechado em \mathbb{R}, então f^{-1}\text{(C)} é fechado como subconjunto de X (isto é, é fechado na topologia de subespaço de X).
Passo 3
Aplicando isso ao conjunto \{x\in X:\;f(x)\le k\}.
Observe que o intervalo (-\infty,k] é fechado em \mathbb{R} (o complementar é (k,\infty), que é aberto).
Então a pré-imagem desse conjunto pelo f é \{x\in X:\;f(x)\le k\}=f^{-1}\big((-\infty,k]\big).
Pela propriedade da pré-imagem de conjuntos fechados, f^{-1}\big((-\infty,k]\big) é fechado em X. Em outras palavras, é um fechado relativo a X.
Passo 4
Explicar claramente o que significa “fechado em X” e por que isso implica a forma F\cap X. (Lema sobre a topologia de subespaço.)
Facto: um subconjunto A\subset X é fechado em X se, e somente se, existe um conjunto fechado F\subset\mathbb{R} tal que A=F\cap X.
Prova curta do lema:
Se F\subset\mathbb{R} é fechado então F\cap X é fechado em X por definição da topologia de subespaço.
Reciprocamente, se A é fechado em X então X\setminus A é aberto em X. Por definição de subespaço existe um aberto U\subset\mathbb{R} com X\setminus A=U\cap X. Então \mathbb{R}\setminus U é fechado em \mathbb{R} e verifica-se \mathbb{R}\setminus U\cap X = X\setminus(U\cap X)=X\setminus(X\setminus A)=A.
Assim, tomando F=\mathbb{R}\setminus U obtemos A=F\cap X. (Outra escolha válida é F=\overline{A}, a fecho de A em \mathbb{R}, e com argumentos semelhantes tem-se \overline{A}\cap X=A.)
Passo 5
Concluir o primeiro item usando o lema.
Já vimos que S_k:=\{x\in X:\;f(x)\le k\}=f^{-1}\big((-\infty,k]\big) é fechado em X.
Pelo lema, existe F\subset\mathbb{R} fechado tal que S_k=F\cap X. Por exemplo, uma escolha explícita é F=\overline{S_k} (fecho em \mathbb{R}), pois \overline{S_k}\cap X=S_k. Portanto o conjunto pedido tem a forma desejada.
Passo 6
Tratar o caso \{x\in X:\;f(x)=k\}.
Note que \{k\} é um conjunto fechado em \mathbb{R} (singleton em \mathbb{R}).
Então \{x\in X:\;f(x)=k\}=f^{-1}(\{k\}) é fechado em X pela propriedade das pré-imagens.
Pelo mesmo lema, existe F'\subset\mathbb{R} fechado tal que f^{-1}(\{k\})=F'\cap X. (Novamente pode-se escolher F'=\overline{f^{-1}(\{k\})}.)
Passo 7
Tratar o caso de duas funções f,g.
A função h:=f-g é contínua (diferença de funções contínuas é contínua).
O conjunto \{x\in X:\;f(x)=g(x)\} é \{x\in X:\;h(x)=0\}=h^{-1}(\{0\}). Como \{0\} é fechado em \mathbb{R}, a pré-imagem h^{-1}(\{0\}) é fechada em X.
Pelo lema, existe F''\subset\mathbb{R} fechado tal que \{x\in X:\;f(x)=g(x)\}=F''\cap X.
Passo 8
Concluir a parte “em particular, se X é fechado então esses três conjuntos são fechados”.
Se X é fechado em \mathbb{R} e A=F\cap X com F fechado, então A é interseção de dois fechados em \mathbb{R}, logo A é fechado em \mathbb{R}. Portanto, quando X é fechado, os conjuntos \{x\in X:\;f(x)\le k\}, \{x\in X:\;f(x)=k\} e \{x\in X:\;f(x)=g(x)\} são fechados (em \mathbb{R}, e assim também fechados em X).
Resposta
Para todo k\in\mathbb{R} existe F\subset\mathbb{R} fechado tal que \{x\in X:\;f(x)\le k\}=F\cap X.
Analogamente, existe F'\subset\mathbb{R} fechado com \{x\in X:\;f(x)=k\}=F'\cap X,
e, para f,g contínuas, existe F''\subset\mathbb{R} fechado com \{x\in X:\;f(x)=g(x)\}=F''\cap X.
Se X é fechado em \mathbb{R} então todos esses conjuntos são fechados em \mathbb{R}.