-
- Seja
derivável em
. Se
com
,
para todo
, e
, demonstre que
- Seja
derivável em . Se com , para todo , e , demonstre que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (todas úteis):
-
é derivável em . -
(ou seja, é ponto de acumulação de pela direita e pela esquerda). - Existem sequências
e em tais que, para todo , e
A pergunta: provar que
Passo 2
Lembrar a definição de derivada e uma forma conveniente de escrever o resto. Como
é derivável em
, o quociente diferencial converge:
Defina a função resto
por
Pela definição da derivada, tem-se
quando
. Reescrevendo,
Passo 3
Aplique a identidade do passo anterior a
e a
. Obtemos
Subtraindo a segunda da primeira:
Como
, isto simplifica para
Passo 4
Divida a expressão anterior por
(note que
para todo
porque
):
Para concluir a prova basta mostrar que o segundo termo à direita tende a
quando
.
Passo 5
Estime o módulo do segundo termo. Pelo triângulo e desigualdade de razões positivas:
Como
temos
e também
. Assim
Portanto
Mas
quando
, e como
e
segue que
e
. Logo o lado direito tende a
, e portanto
Passo 6
Voltando à igualdade do Passo 4, tomando limite em
obtemos
Isto é exatamente o que se pedia demonstrar.