1. Seja f: X \rightarrow \mathbb{R} derivável em a \in X \cap X_{+}^{\prime} \cap X_{-}^{\prime}. Se x_{n}<a<y_{n} com x_{n}, y_{n} \in X para todo n \in \mathbb{N}, e \lim x_{n}=\lim y_{n}=a, demonstre que
\lim \frac{f\left(y_{n}\right)-f\left(x_{n}\right)}{y_{n}-x_{n}}=f^{\prime}(a) .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (todas úteis):
  • f: X \to \mathbb{R} é derivável em a.
  • a\in X\cap X_{+}^{\prime}\cap X_{-}^{\prime} (ou seja, a é ponto de acumulação de X pela direita e pela esquerda).
  • Existem sequências (x_n) e (y_n) em X tais que, para todo n, x_n<a<y_n e \lim_{n\to\infty} x_n = \lim_{n\to\infty} y_n = a.
A pergunta: provar que
\lim_{n\to\infty} \frac{f(y_n)-f(x_n)}{y_n-x_n} = f'(a).

Passo 2

Lembrar a definição de derivada e uma forma conveniente de escrever o resto. Como f é derivável em a, o quociente diferencial converge:
\lim_{t\to a}\frac{f(t)-f(a)}{t-a}=f'(a).
Defina a função resto r(t) por
r(t):=\frac{f(t)-f(a)}{t-a}-f'(a)\qquad (t\ne a).
Pela definição da derivada, tem-se r(t)\to 0 quando t\to a. Reescrevendo,
\text{para }t\ne a:\qquad f(t)-f(a)=f'(a)(t-a)+r(t)(t-a).

Passo 3

Aplique a identidade do passo anterior a t=y_n e a t=x_n. Obtemos
f(y_n)-f(a)=f'(a)(y_n-a)+r(y_n)(y_n-a),
f(x_n)-f(a)=f'(a)(x_n-a)+r(x_n)(x_n-a).
Subtraindo a segunda da primeira:
f(y_n)-f(x_n)=f'(a)\bigl((y_n-a)-(x_n-a)\bigr)+r(y_n)(y_n-a)-r(x_n)(x_n-a).
Como (y_n-a)-(x_n-a)=y_n-x_n, isto simplifica para
f(y_n)-f(x_n)=f'(a)(y_n-x_n)+\bigl(r(y_n)(y_n-a)-r(x_n)(x_n-a)\bigr).

Passo 4

Divida a expressão anterior por y_n-x_n (note que y_n-x_n>0 para todo n porque x_n<a<y_n):
\frac{f(y_n)-f(x_n)}{y_n-x_n}=f'(a)+\frac{r(y_n)(y_n-a)-r(x_n)(x_n-a)}{y_n-x_n}.
Para concluir a prova basta mostrar que o segundo termo à direita tende a 0 quando n\to\infty.

Passo 5

Estime o módulo do segundo termo. Pelo triângulo e desigualdade de razões positivas:
\left|\frac{r(y_n)(y_n-a)-r(x_n)(x_n-a)}{y_n-x_n}\right| \le \frac{|r(y_n)|\,|y_n-a|}{y_n-x_n} + \frac{|r(x_n)|\,|x_n-a|}{y_n-x_n}.
Como x_n<a<y_n temos y_n-x_n=(y_n-a)+(a-x_n)\ge y_n-a e também y_n-x_n\ge a-x_n=|x_n-a|. Assim
\frac{|y_n-a|}{y_n-x_n}\le 1,\qquad \frac{|x_n-a|}{y_n-x_n}\le 1.
Portanto
\left|\frac{r(y_n)(y_n-a)-r(x_n)(x_n-a)}{y_n-x_n}\right| \le |r(y_n)| + |r(x_n)|.
Mas r(t)\to 0 quando t\to a, e como x_n\to a e y_n\to a segue que |r(y_n)|\to 0 e |r(x_n)|\to 0. Logo o lado direito tende a 0, e portanto
\frac{r(y_n)(y_n-a)-r(x_n)(x_n-a)}{y_n-x_n}\to 0.

Passo 6

Voltando à igualdade do Passo 4, tomando limite em n\to\infty obtemos
\lim_{n\to\infty}\frac{f(y_n)-f(x_n)}{y_n-x_n} = f'(a) + 0 = f'(a).
Isto é exatamente o que se pedia demonstrar.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{f(y_n)-f(x_n)}{y_n-x_n}=f'(a)

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