Demonstre que o conjunto dos pontos críticos de uma função de classe C^{1} em um intervalo I é um conjunto fechado.

Passo 1

O enunciado pede para provar que o conjunto dos pontos críticos de uma função de classe C^{1} definida num intervalo I é um conjunto fechado.
Informações dadas (retiradas do enunciado):
  • Existe uma função f\colon I\to\mathbb{R} de classe C^{1}.
  • Logo, f' existe em todo I e f' é contínua em I.
    A tarefa é mostrar, com essas informações, que o conjunto dos pontos críticos
\{x\in I \mid f'(x)=0\}
é um subconjunto fechado de I.

Passo 2

Definição usada: um ponto x\in I chama-se ponto crítico de f quando f'(x)=0. Assim podemos escrever o conjunto dos pontos críticos como
C:=\{x\in I \mid f'(x)=0\}.
Vou trabalhar com a ideia intuitiva e precisa de conjunto fechado: um subconjunto S\subset I é fechado em I se contém todos os seus pontos-limite (isto é, se toda sequência em S que converge em I tem o limite também em S). Essa forma sequencial é muito prática aqui porque estamos em espaços métricos ( \mathbb{R}).

Passo 3

Lembrete sobre continuidade que vou usar: dizer que f' é contínua em I significa, equivalentemente, que para qualquer ponto a\in I e para qualquer sequência (x_{n})\subset I tal que x_{n}\to a, vale
f'(x_{n})\to f'(a).
Essa forma sequencial de continuidade é válida em \mathbb{R} e é a que usarei no argumento.

Passo 4

Prova principal (forma sequencial, bem direta):
  • Tome uma sequência (x_{n}) de pontos críticos, isto é, x_{n}\in C para todo n. Então por definição f'(x_{n})=0 para todo n.
  • Suponha que x_{n}\to x com x\in I. Como f' é contínua em I, aplicando a definição sequencial de continuidade obtemos
f'(x_{n})\to f'(x).
  • Mas f'(x_{n})=0 para todo n, logo a sequência f'(x_{n}) converge para 0. Portanto f'(x)=0.
  • Conclusão: o limite x pertence a C. Logo C contém todos os seus pontos-limite e, pela definição sequencial, C é fechado em I.

Passo 5

Explicação alternativa (usando preimagem de conjunto fechado): a prova acima equivale à observação geral de que, como f' é contínua, a pré-imagem de um conjunto fechado é fechada. O conjunto \{0\}\subset\mathbb{R} é fechado, então
C=(f')^{-1}(\{0\})
é fechado em I. Isso é apenas a mesma ideia, escrita com outra linguagem (topológica).

Passo 6

Resumo didático e motivador: a chave foi usar que f é C^{1} para garantir continuidade de f'. Continuidade permite passar ao limite dentro da derivada: se pontos onde f' vale 0 convergem para algum ponto, a continuidade força f' desse ponto também ser 0. Assim não dá para “escapar” do conjunto dos críticos por aproximação — por isso ele é fechado. Boa notícia: esse é um argumento curto e robusto que dá tranquilo na prova.

Resposta

\{x\in I \mid f'(x)=0\} é fechado em I.

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