Demonstre que o conjunto dos pontos críticos de uma função de classe
em um intervalo
é um conjunto fechado.
Passo 1
O enunciado pede para provar que o conjunto dos pontos críticos de uma função de classe
definida num intervalo
é um conjunto fechado.
Informações dadas (retiradas do enunciado):
Informações dadas (retiradas do enunciado):
- Existe uma função
de classe . - Logo,
existe em todo e é contínua em .
A tarefa é mostrar, com essas informações, que o conjunto dos pontos críticos
é um subconjunto fechado de
.
Passo 2
Definição usada: um ponto
chama-se ponto crítico de
quando
. Assim podemos escrever o conjunto dos pontos críticos como
Vou trabalhar com a ideia intuitiva e precisa de conjunto fechado: um subconjunto
é fechado em
se contém todos os seus pontos-limite (isto é, se toda sequência em
que converge em
tem o limite também em
). Essa forma sequencial é muito prática aqui porque estamos em espaços métricos (
).
Passo 3
Lembrete sobre continuidade que vou usar: dizer que
é contínua em
significa, equivalentemente, que para qualquer ponto
e para qualquer sequência
tal que
, vale
Essa forma sequencial de continuidade é válida em
e é a que usarei no argumento.
Passo 4
Prova principal (forma sequencial, bem direta):
- Tome uma sequência
de pontos críticos, isto é, para todo . Então por definição para todo . - Suponha que
com . Como é contínua em , aplicando a definição sequencial de continuidade obtemos
- Mas
para todo , logo a sequência converge para . Portanto . - Conclusão: o limite
pertence a . Logo contém todos os seus pontos-limite e, pela definição sequencial, é fechado em .
Passo 5
Explicação alternativa (usando preimagem de conjunto fechado): a prova acima equivale à observação geral de que, como
é contínua, a pré-imagem de um conjunto fechado é fechada. O conjunto
é fechado, então
é fechado em
. Isso é apenas a mesma ideia, escrita com outra linguagem (topológica).
Passo 6
Resumo didático e motivador: a chave foi usar que
é
para garantir continuidade de
. Continuidade permite passar ao limite dentro da derivada: se pontos onde
vale
convergem para algum ponto, a continuidade força
desse ponto também ser
. Assim não dá para “escapar” do conjunto dos críticos por aproximação — por isso ele é fechado. Boa notícia: esse é um argumento curto e robusto que dá tranquilo na prova.