Uma função
definida no intervalo
chama-se quase convexa em
quando, para todo
, o conjunto
é vazio ou é um intervalo. Demonstre que toda função
convexa em
é quase-convexa em
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, se
é convexa em
, então
é quase-convexa em
.
As informações relevantes que o enunciado dá são:
As informações relevantes que o enunciado dá são:
-
é um intervalo da reta real. -
é convexa em (isso é dado). - Para cada
define-se o conjunto de subníveis .
O que precisamos mostrar: para todo, o conjunto é vazio ou é um intervalo (ou seja, se e está entre e então ).
Passo 2
Vou lembrar a definição de função convexa (para você não precisar supor coisa alguma):
Uma função é convexa em
se, para quaisquer
e qualquer
, vale a desigualdade
Uma função
Aqui
é um ponto no segmento entre
e
(quando
varia em
percorre todos os pontos entre
e
).
Vou também explicitar bem o que é um intervalo no sentido que usamos aqui: um subconjunto é um intervalo se, sempre que
e
estiver entre
e
(ou seja,
para algum
), então
. Essa é exatamente a propriedade de convexidade de conjuntos na reta.
Vou também explicitar bem o que é um intervalo no sentido que usamos aqui: um subconjunto
Passo 3
Pegue um
fixo. Queremos provar que
é vazio ou é um intervalo. Se
for vazio não há nada a provar. Então suponha que
não é vazio.
Como , escolhemos quaisquer
. Isso significa, por definição de
,
Como
Agora tomemos um ponto
entre
e
. Por definição de “estar entre”, existe
tal que
Passo 4
Aplicamos a desigualdade da convexidade de
ao par
e ao coeficiente
. Usando a definição de função convexa:
Como
e
, o lado direito satisfaz
Portanto juntando as desigualdades obtemos
A desigualdade
mostra que
. Como
e
foram quaisquer pontos em
e
foi qualquer ponto entre
e
, concluímos que sempre que
todo ponto entre
e
pertence a
. Isso é exatamente a propriedade de intervalo. Logo
é um intervalo. (Um caso particular é
ter um único ponto; conjuntos com um ponto também são intervalos no sentido usado aqui.)
Concluímos que para todo o conjunto
é vazio ou é um intervalo. Isto é exatamente a definição de quase-convexidade do enunciado. Como observação pedagógica rápida: a prova resume-se à observação intuitiva de que convexidade força o valor de
num ponto intermediário a não ultrapassar a média dos valores nos extremos; se ambos os extremos estão abaixo de
, a média também está, e assim todo intermediário também tem valor
. Um exemplo concreto para fixar:
é convexa em
e para
tem
, que é um intervalo.
Concluímos que para todo
Resposta
Toda função convexa
é quase-convexa em
.