Uma função f: I \rightarrow \mathbb{R} definida no intervalo I chama-se quase convexa em I quando, para todo c \in \mathbb{R}, o conjunto J_{c}=\{x \in I: f(x) \leqslant c\} é vazio ou é um intervalo. Demonstre que toda função f: I \rightarrow \mathbb{R} convexa em I é quase-convexa em I.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, se f: I \to \mathbb{R} é convexa em I, então f é quase-convexa em I.
As informações relevantes que o enunciado dá são:
  • I é um intervalo da reta real.
  • f: I \to \mathbb{R} é convexa em I (isso é dado).
  • Para cada c \in \mathbb{R} define-se o conjunto de subníveis J_{c}=\{x\in I: f(x)\leqslant c\}.
    O que precisamos mostrar: para todo c\in\mathbb{R}, o conjunto J_{c} é vazio ou é um intervalo (ou seja, se a,b\in J_c e x está entre a e b então x\in J_c).

Passo 2

Vou lembrar a definição de função convexa (para você não precisar supor coisa alguma):
Uma função f:I\to\mathbb{R} é convexa em I se, para quaisquer x,y\in I e qualquer t\in[0,1], vale a desigualdade
f\big(t x+(1-t)y\big)\le t\,f(x)+(1-t)\,f(y).
Aqui t x+(1-t)y é um ponto no segmento entre x e y (quando t varia em [0,1] percorre todos os pontos entre x e y).
Vou também explicitar bem o que é um intervalo no sentido que usamos aqui: um subconjunto S\subseteq I é um intervalo se, sempre que a,b\in S e x estiver entre a e b (ou seja, x=t a+(1-t)b para algum t\in[0,1]), então x\in S. Essa é exatamente a propriedade de convexidade de conjuntos na reta.

Passo 3

Pegue um c\in\mathbb{R} fixo. Queremos provar que J_c=\{x\in I: f(x)\le c\} é vazio ou é um intervalo. Se J_c for vazio não há nada a provar. Então suponha que J_c não é vazio.
Como J_c\neq\varnothing, escolhemos quaisquer a,b\in J_c. Isso significa, por definição de J_c,
f(a)\le c\qquad\text{e}\qquad f(b)\le c.
Agora tomemos um ponto x entre a e b. Por definição de “estar entre”, existe t\in[0,1] tal que
x = t a + (1-t) b.

Passo 4

Aplicamos a desigualdade da convexidade de f ao par a,b e ao coeficiente t. Usando a definição de função convexa:
f(x)=f\big(t a+(1-t)b\big)\le t\,f(a)+(1-t)\,f(b).
Como f(a)\le c e f(b)\le c, o lado direito satisfaz
t\,f(a)+(1-t)\,f(b)\le t\,c+(1-t)\,c = c.
Portanto juntando as desigualdades obtemos
f(x)\le c.
A desigualdade f(x)\le c mostra que x\in J_c. Como a e b foram quaisquer pontos em J_c e x foi qualquer ponto entre a e b, concluímos que sempre que a,b\in J_c todo ponto entre a e b pertence a J_c. Isso é exatamente a propriedade de intervalo. Logo J_c é um intervalo. (Um caso particular é J_c ter um único ponto; conjuntos com um ponto também são intervalos no sentido usado aqui.)
Concluímos que para todo c\in\mathbb{R} o conjunto J_c é vazio ou é um intervalo. Isto é exatamente a definição de quase-convexidade do enunciado. Como observação pedagógica rápida: a prova resume-se à observação intuitiva de que convexidade força o valor de f num ponto intermediário a não ultrapassar a média dos valores nos extremos; se ambos os extremos estão abaixo de c, a média também está, e assim todo intermediário também tem valor \le c. Um exemplo concreto para fixar: f(x)=x^{2} é convexa em \mathbb{R} e para c>0 tem J_c=[-{\sqrt{c}},{\sqrt{c}}], que é um intervalo.

Resposta

Toda função convexa f:I\to\mathbb{R} é quase-convexa em I.

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