Seja f: X \rightarrow \mathbb{R} e g: Y \rightarrow \mathbb{R} com f(X) \subset Y, x_{0} \in X^{\prime}, y_{0} \in Y^{\prime} \cap Y. Suponha que
\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=y_{0}, \quad \lim _{y \rightarrow y_{0}} g(y)=L .
(a) Se f(x) \neq y_{0} para todo x \in X \backslash\left\{x_{0}\right\}, ou g\left(y_{0}\right)=L, mostre que \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(f(x))=L.
(b) Dê um exemplo que a conclusão do item anterior falha se retiramos as hipóteses que foram consideradas nesse item.

Passo 1

Vamos resumir o que temos e o que queremos provar. Seja f\colon X\to\mathbb{R} e g\colon Y\to\mathbb{R} com f(X)\subset Y. Fixamos x_{0}\in X' e y_{0}\in Y'\cap Y tais que
\lim_{x\to x_{0}}f(x)=y_{0}, \qquad \lim_{y\to y_{0}}g(y)=L.
Queremos mostrar que
\lim_{x\to x_{0}}g\bigl(f(x)\bigr)=L
sob as hipóteses adicionais (i) f(x)\neq y_{0} para todo x\neq x_{0} ou (ii) g(y_{0})=L. No item (b) daremos um contra-exemplo caso retiremos essas hipóteses.

Passo 2

Aplicamos a definição de limite de g. Dado \varepsilon>0, como \lim_{y\to y_{0}}g(y)=L, existe \delta>0 tal que
0<|y-y_{0}|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |g(y)-L|<\varepsilon.
Em seguida, pela definição de \lim_{x\to x_{0}}f(x)=y_{0}, existe \eta>0 tal que
0<|x-x_{0}|<\eta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-y_{0}|<\delta.

Passo 3

Agora consideramos x satisfazendo 0<|x-x_{0}|<\eta. Então |f(x)-y_{0}|<\delta, ou seja, f(x) está em (y_{0}-\delta,y_{0}+\delta).
Se estivermos no caso (i) em que f(x)\neq y_{0} para x\neq x_{0}, então sempre que 0<|x-x_{0}|<\eta temos também 0<|f(x)-y_{0}|<\delta e portanto
|g\bigl(f(x)\bigr)-L|<\varepsilon.
Se estivermos no caso (ii) em que g(y_{0})=L, então mesmo que f(x) possa atingir y_{0}, a condição |f(x)-y_{0}|<\delta garante
|g\bigl(f(x)\bigr)-L|<\varepsilon
para todo 0<|x-x_{0}|<\eta, pois o caso f(x)=y_{0} dá exatamente g(f(x))=g(y_{0})=L. Assim em ambas as hipóteses temos
0<|x-x_{0}|<\eta \quad\Longrightarrow\quad |g(f(x))-L|<\varepsilon,
o que é exatamente \lim_{x\to x_{0}}g(f(x))=L.

Passo 4

Agora um exemplo mostrando que sem as hipóteses (i) ou (ii) a composição pode falhar. Definimos
f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=0\quad(\forall x),
e
g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad g(y)=\begin{cases} 1, & y\neq 0,\\\\ 0, & y=0. \end{cases}
Temos \lim_{x\to 0}f(x)=0 e \lim_{y\to 0}g(y)=1, mas para todo x
g\bigl(f(x)\bigr)=g(0)=0,
logo \lim_{x\to 0}g(f(x))=0\neq 1. Aqui falha a hipótese (i) porque f(x)=y_{0}=0 para todo x\neq 0, e falha também (ii) pois g(0)=0\neq 1.

Resposta

(a) Sob as hipóteses f(x)\neq y_{0}\) para \(x\neq x_{0}\) ou \(g(y_{0})=L\), provamos que \(\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}g(f(x))=L\) usando o argumento \(\varepsilon\)-\(\delta\). (b) O exemplo \[f(x)\equiv 0,\quad g(y)=\begin{cases}1 & y\neq 0,\\\\ 0 & y=0,\end{cases}
mostra que sem essas hipóteses a conclusão falha: \lim_{x\to0}f(x)=0\], \(\lim_{y\to0}g(y)=1, mas \lim_{x\to0}g(f(x))=0.

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