Seja f: X \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} e A \subset X. Mostre que f é limitada no subconjunto A \subset X, se e somente se, existe M>0 tal que
|f(x)| \leq M, \quad \forall x \in A .

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função f\colon X\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R} e um subconjunto A\subset X. Queremos mostrar que
f é limitada em A” (i.e.\ o conjunto f(A)\subset\mathbb{R} é limitado)
se, e somente se, existe um número M>0 tal que
|f(x)|\le M \quad\text{para todo }x\in A.
O conteúdo principal aqui é a definição de conjunto limitado em \mathbb{R} e como isso se traduz para funções.

Passo 2

( “ \Rightarrow” ) Suponha que f seja limitada em A. Por definição, isso significa que o conjunto
f(A)=\{\,f(x)\mid x\in A\}
é limitado em \mathbb{R}. Então existem dois números reais c e d tais que
f(A)\subset [c,d].
Defina
M = \max\bigl(|c|,|d|\bigr).
Como [c,d]\subset [-M,M], temos para todo x\in A que f(x)\in[c,d] e, portanto,
|f(x)|\le M.
Note que M>0 por construção.

Passo 3

( “ \Leftarrow” ) Agora suponha que exista M>0 tal que
|f(x)|\le M \quad\forall x\in A.
Isso significa exatamente que
f(A)\subset [-M,M],
e como [-M,M] é um intervalo limitado em \mathbb{R}, seu subconjunto f(A) também é limitado. Logo f é limitada em A.

Resposta

Mostramos ambas as implicações, portanto
f é limitada em A” se, e somente se, existe M>0 tal que \lvert f(x)\rvert\le M para todo x\in A.

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