Sejam f, g: X \rightarrow \mathbb{R} e x_{0} \in X^{\prime}. Prove que
Se \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)>0, existe \delta>0 tal que f(x)>0 para todo x \in X \cap B_{\delta}^{*}\left(x_{0}\right).

Passo 1

O enunciado diz que f\colon X\to\mathbb{R} é uma função definida num conjunto X\subset\mathbb{R}, que x_{0} é ponto de acumulação de X (isto é, x_{0}\in X') e que
\lim_{x\to x_{0}}f(x)=L>0.
Precisamos mostrar que existe \delta>0 tal que
f(x)>0 \quad\text{para todo }x\in X\cap B_{\delta}^{*}(x_{0}),
onde B_{\delta}^{*}(x_{0})=\{x\mid 0<|x-x_{0}|<\delta\}. Usaremos a definição \varepsilon
obreakdash– \delta de limite.

Passo 2

Como L>0, podemos escolher
\varepsilon = L.
Pela definição de \lim_{x\to x_{0}}f(x)=L, existe \delta>0 tal que, sempre que
x\in X \quad\text{e}\quad 0<|x-x_{0}|<\delta,
valha
|f(x)-L|<\varepsilon.

Passo 3

Dessa desigualdade obtemos
f(x) = L + \bigl(f(x)-L\bigr) \ge L - |f(x)-L| > L - \varepsilon = L - L = 0.
Logo, para todo x\in X\cap B_{\delta}^{*}(x_{0}) temos f(x)>0.

Resposta

Tomando \varepsilon=L na definição de limite, obtemos \delta>0 tal que f(x)>0 sempre que 0<|x-x_{0}|<\delta e x\in X, o que é exatamente o enunciado a ser provado.

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