Seja f: X \rightarrow Y e considere as famílias \left\{A_{\lambda}\right\}_{\lambda \in \Lambda} \subseteq \mathcal{P}(X),\left\{B_{\mu}\right\}_{\mu \in \Gamma} \subseteq \mathcal{P}(Y). Provar que:
f^{-1}\left(\bigcap_{\lambda \in \Lambda} B_{\mu}\right)=\bigcap_{\lambda \in \Lambda} f^{-1}\left(B_{\mu}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá uma função f\colon X\to Y e uma família \{B_\mu\}_{\mu\in\Gamma}\subseteq\mathcal P(Y). Queremos provar que
f^{-1}\Bigl(\bigcap_{\mu\in\Gamma}B_\mu\Bigr) =\bigcap_{\mu\in\Gamma}f^{-1}(B_\mu).
Para isso, vamos usar a definição de imagem inversa e a caracterização da interseção por quantificador universal.

Passo 2

Pela definição de imagem inversa,
f^{-1}\Bigl(\bigcap_{\mu\in\Gamma}B_\mu\Bigr) =\{\,x\in X \mid f(x)\in \bigcap_{\mu\in\Gamma}B_\mu\}.
Mas
f(x)\in \bigcap_{\mu\in\Gamma}B_\mu \quad\Leftrightarrow\quad \forall\,\mu\in\Gamma:\;f(x)\in B_\mu.
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f^{-1}\Bigl(\bigcap_{\mu\in\Gamma}B_\mu\Bigr) =\{\,x\in X \mid \forall\,\mu\in\Gamma:\;f(x)\in B_\mu\}.

Passo 3

A condição “ \forall\,\mu\in\Gamma:\;f(x)\in B_\mu” significa exatamente que
x\in \bigcap_{\mu\in\Gamma}\{\,x\in X\mid f(x)\in B_\mu\} =\bigcap_{\mu\in\Gamma}f^{-1}(B_\mu).
Portanto concluímos
f^{-1}\Bigl(\bigcap_{\mu\in\Gamma}B_\mu\Bigr) =\bigcap_{\mu\in\Gamma}f^{-1}(B_\mu).

Resposta

f^{-1}\Bigl(\bigcap_{\mu\in\Gamma}B_\mu\Bigr) =\bigcap_{\mu\in\Gamma}f^{-1}(B_\mu).

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