Seja f: X \rightarrow Y, mostre que são equivalentes:
a) f é injetiva.
b) Mostre que f(A \cap B)=f(A) \cap f(B), para todo A, B \in \mathcal{P}(X).
c) para todo par de conjuntos disjuntos A e B de X, temos f(A) \cap f(B)=\emptyset.

Passo 1

O enunciado fala de uma função f\colon X\to Y e pede para mostrar que as três propriedades abaixo são equivalentes:
  1. f é injetiva.
  2. Para todos A,B\subseteq X, vale
f(A\cap B)=f(A)\cap f(B).
  1. Para todo par de conjuntos disjuntos A,B\subseteq X (isto é, A\cap B=\emptyset), temos
f(A)\cap f(B)=\emptyset.
Vamos usar a definição de imagem de conjunto e a definição de injetividade.

Passo 2

(a) \implies(b).
Em geral sempre vale
f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B),
pois se y\in f(A\cap B) então existe x\in A\cap B com f(x)=y, logo y\in f(A) e y\in f(B).
Para a inclusão inversa, suponha f injetiva e tome y\in f(A)\cap f(B). Então existem a\in A e b\in B tais que
f(a)=y=f(b).
Pela injetividade deduzimos a=b, logo a\in A\cap B e y=f(a)\in f(A\cap B). Assim
f(A)\cap f(B)\subseteq f(A\cap B),
e concluímos a igualdade.

Passo 3

(b) \implies(c).
Se A\cap B=\emptyset, então aplicando (b) obtemos
f(A)\cap f(B)=f(A\cap B)=f(\emptyset)=\emptyset.
Aqui usamos que a imagem do conjunto vazio é o vazio.

Passo 4

(c) \implies(a).
Para mostrar que f é injetiva, suponha por absurdo que não seja: existem x\neq x' em X tais que f(x)=f(x'). Tome
A=\{x\}, \quad B=\{x'\}.
Como x\neq x' temos A\cap B=\emptyset, mas
f(A)=\{f(x)\}, \quad f(B)=\{f(x')\}=\{f(x)\},
então f(A)\cap f(B)=\{f(x)\}\neq\emptyset, contradizendo (c). Logo f deve ser injetiva.

Resposta

Concluímos que as três condições são logicamente equivalentes, ou seja,
\text{(a)}\iff\text{(b)}\iff\text{\text{(c)}}.

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