Seja f: X \rightarrow Y. Diga se cada uma das propriedades abaixo define, ou não, uma função injetiva:
(c) f(a) \neq f(b) \Rightarrow a \neq b

Passo 1

O enunciado pede para analisar a propriedade
\forall a,b\in X,\;f(a)\neq f(b)\;\Rightarrow\;a\neq b
e decidir se ela caracteriza uma função injetiva. O conteúdo aqui é lógica proposicional (implicação e contrapositiva) e definição de injetividade.

Passo 2

Recordando a definição de injetividade, dizemos que f é injetiva se
\forall a,b\in X,\;f(a)=f(b)\;\Rightarrow\;a=b.
A contrapositiva dessa definição é
\forall a,b\in X,\;a\neq b\;\Rightarrow\;f(a)\neq f(b),
que é equivalente à definição original de injetividade.

Passo 3

A propriedade dada é
\forall a,b\in X,\;f(a)\neq f(b)\;\Rightarrow\;a\neq b.
Mas observe que, para qualquer função (sem precisar ser injetiva), vale sempre que se a=b então f(a)=f(b). Tomando a contrapositiva disso obtemos exatamente
f(a)\neq f(b)\;\Rightarrow\;a\neq b,
portanto essa condição é uma verdade geral de toda função.

Passo 4

Como a condição f(a)\neq f(b)\Rightarrow a\neq b é satisfeita por qualquer função f, ela não impõe nenhum critério extra que force a injetividade. Logo, não caracteriza injetividade.

Resposta

Não. A propriedade f(a)\neq f(b)\Rightarrow a\neq b vale para qualquer função e, portanto, não define injetividade.

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