Seja f: X \rightarrow Y uma função. Se A, B \subset X, mostre que
(a) f(A \cup B)=f(A) \cup f(B).
(b) f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B). Mostre com um exemplo que, em geral, não vale a igualdade f(A \cap B)=f(A) \cap f(B).
(c) f(A-B) \supset f(A)-f(B). Mostre com um exemplo que, em geral, não vale a igualdade f(A-B)=f(A)-f(B).
(d) f\left(f^{-1}(f(A))\right)=f(A).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar propriedades básicas de imagem direta f e pré-imagem f^{-1} de conjuntos sob uma função f\colon X\to Y. Precisamos conhecer a definição de
f\text{(C)}=\{\,y\in Y\mid \exists x\in C,\;f(x)=y\}
e
f^{-1}(D)=\{\,x\in X\mid f(x)\in D\},
e usar argumentos de dupla inclusão para provar igualdades de conjuntos ou um só lado para inclusões.

Passo 2

Prova de (a): f(A\cup B)=f(A)\cup f(B).
  1. \subseteq”: Seja y\in f(A\cup B). Então existe x\in A\cup B tal que f(x)=y. Como x\in A\cup B, ou x\in A ou x\in B. Se x\in A então y\in f(A), e se x\in B então y\in f(B). Logo y\in f(A)\cup f(B).
  2. \supseteq”: Seja y\in f(A)\cup f(B). Então ou y\in f(A) (existe a\in A com f(a)=y) ou y\in f(B) (existe b\in B com f(b)=y). Em ambos os casos esse elemento-gerador está em A\cup B, logo y\in f(A\cup B).
Concluímos f(A\cup B)=f(A)\cup f(B).

Passo 3

Prova de (b): f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B).
Seja y\in f(A\cap B). Então existe x\in A\cap B com f(x)=y. Como x\in A\cap B, temos x\in A e x\in B, logo y\in f(A) e y\in f(B). Assim y\in f(A)\cap f(B).
Exemplo de desigualdade: tome X=\{1,2\}, Y=\{a\} e f(1)=f(2)=a. Se A=\{1\} e B=\{2\}, então A\cap B=\emptyset e
f(A\cap B)=f(\emptyset)=\emptyset,
enquanto
f(A)\cap f(B)=\{a\}\cap\{a\}=\{a\}.
Logo \emptyset\subsetneq\{a\}.

Passo 4

Prova de (c): f(A-B)\supset f(A)-f(B).
Seja y\in f(A)-f(B). Então y\in f(A) e y\notin f(B). Como y\in f(A), existe x\in A com f(x)=y. Se x estivesse em B, teríamos y=f(x)\in f(B), contradizendo y\notin f(B). Logo aquele x\notin B, isto é, x\in A-B, e então y=f(x)\in f(A-B).
Exemplo de desigualdade: use o mesmo f do passo anterior com A=\{1,2\} e B=\{1\}. Então
A-B=\{2\},\quad f(A-B)=\{a\},
mas
f(A)=\{a\},\quad f(B)=\{a\},\quad f(A)-f(B)=\emptyset,
e \{a\}\supsetneq\emptyset.

Passo 5

Prova de (d): f\bigl(f^{-1}(f(A))\bigr)=f(A).
  1. \supseteq”: Seja y\in f(A). Então existe a\in A com f(a)=y. Claramente a\in f^{-1}(f(A)), pois f(a)\in f(A). Logo y=f(a)\in f\bigl(f^{-1}(f(A))\bigr).
  2. \subseteq”: Seja y\in f\bigl(f^{-1}(f(A))\bigr). Então existe x\in f^{-1}(f(A)) tal que f(x)=y. Mas x\in f^{-1}(f(A)) implica f(x)\in f(A), ou seja, y\in f(A).
Portanto as duas inclusões dão igualdade.

Resposta

(a) f(A\cup B)=f(A)\cup f(B).
(b) f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B), e o exemplo mostra que a inclusão pode ser estrita.
(c) f(A-B)\supset f(A)-f(B), e o exemplo mostra que a inclusão pode ser estrita.
(d) f\bigl(f^{-1}(f(A))\bigr)=f(A).

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