Seja
uma função. Se
, mostre que
(a)
.
(b)
. Mostre com um exemplo que, em geral, não vale a igualdade
.
(c)
. Mostre com um exemplo que, em geral, não vale a igualdade
.
(d)
.
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar propriedades básicas de imagem direta
e pré-imagem
de conjuntos sob uma função
. Precisamos conhecer a definição de
e
e usar argumentos de dupla inclusão para provar igualdades de conjuntos ou um só lado para inclusões.
Passo 2
Prova de (a):
.
-
“
”: Seja . Então existe tal que . Como , ou ou . Se então , e se então . Logo . -
“
”: Seja . Então ou (existe com ) ou (existe com ). Em ambos os casos esse elemento-gerador está em , logo .
Concluímos
.
Passo 3
Prova de (b):
.
Seja
. Então existe
com
. Como
, temos
e
, logo
e
. Assim
.
Exemplo de desigualdade: tome
,
e
. Se
e
, então
e
enquanto
Logo
.
Passo 4
Prova de (c):
.
Seja
. Então
e
. Como
, existe
com
. Se
estivesse em
, teríamos
, contradizendo
. Logo aquele
, isto é,
, e então
.
Exemplo de desigualdade: use o mesmo
do passo anterior com
e
. Então
mas
e
.
Passo 5
Prova de (d):
.
-
“
”: Seja . Então existe com . Claramente , pois . Logo . -
“
”: Seja . Então existe tal que . Mas implica , ou seja, .
Portanto as duas inclusões dão igualdade.
Resposta
(a)
.
(b) , e o exemplo mostra que a inclusão pode ser estrita.
(c) , e o exemplo mostra que a inclusão pode ser estrita.
(d) .
(b)
(c)
(d)