Sejam f: X \rightarrow Y e g: Y \rightarrow Z funções. Mostre que
Se f e g são bijetoras, então g \circ f é bijetora. Construa um exemplo mostrando que a recíproca é falsa.

Passo 1

O enunciado trata de funções e quer mostrar que, se f\colon X\to Y e g\colon Y\to Z são bijetoras, então a composição g\circ f\colon X\to Z também é bijetora. O conteúdo é sobre injeção, sobrejeção e bijeção de funções, e usaremos as definições:
f é injetora se, sempre que f(x_1)=f(x_2), segue que x_1=x_2.
f é sobrejetora se, para todo y\in Y, existe x\in X tal que f(x)=y.
f é bijetora se é simultaneamente injetora e sobrejetora.

Passo 2

Provar injeção de g\circ f. Suponha que
(g\circ f)(x_1) = (g\circ f)(x_2).
Então
g\bigl(f(x_1)\bigr) = g\bigl(f(x_2)\bigr).
Como g é injetora, isso implica
f(x_1) = f(x_2).
E como f é injetora, obtemos
x_1 = x_2.
Logo, g\circ f é injetora.

Passo 3

Provar sobrejeção de g\circ f. Seja z\in Z arbitrário. Como g é sobrejetora, existe y\in Y tal que
g(y) = z.
E como f é sobrejetora, existe x\in X tal que
f(x) = y.
Portanto
(g\circ f)(x) = g\bigl(f(x)\bigr) = g(y) = z.
Isso prova que g\circ f é sobrejetora.

Passo 4

Conclusão: g\circ f é injetora e sobrejetora, ou seja, é bijetora.

Passo 5

Agora, um exemplo que mostra que a recíproca “se g\circ f é bijetora então f e g são bijetoras” é falsa. Considere
X = \{1\},\quad Y = \{a,b\},\quad Z = \{c\}.
Defina
f\colon X\to Y,\quad f(1)=a,
que é injetora (não há dois elementos em X para colidirem) mas não é sobrejetora (não atinge b\in Y). E defina
g\colon Y\to Z,\quad g(a)=c,\quad g(b)=c,
que é sobrejetora (atinge c) mas não é injetora (pois g(a)=g(b)).

Passo 6

Verifique a composição:
(g\circ f)(1) = g\bigl(f(1)\bigr) = g(a) = c.
Como X e Z têm ambos um único elemento, a função g\circ f\colon X\to Z é bijetora (injetora e sobrejetora triviais em conjuntos unitários). Assim, g\circ f é bijetora, mas f não é sobrejetora e g não é injetora, mostrando que a recíproca falha.

Resposta

A composição de bijeções é bijeção, mas a recíproca é falsa conforme o exemplo acima.

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