Seja
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}
Calcule \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) e \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) em todos os pontos do plano. f é contínua em (0,0) ? \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) e \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) sảo contínuas em (0,0) ?

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[4pt] 0, & (x,y)=(0,0).\end{cases}
O que é pedido:
  • Calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) em todos os pontos do plano (ou seja, para (x,y)\neq(0,0) e para (0,0)).
  • Verificar se f é contínua em (0,0).
  • Verificar se \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} são contínuas em (0,0).
Listei as perguntas claramente; a partir daqui vamos calcular passo a passo.]

Passo 2

Derivadas parciais em (x,y)\neq(0,0) — preparação e regra do quociente.
Quando temos f(x,y)=\dfrac{N(x,y)}{D(x,y)} com D\neq0, a derivada parcial em relação a x é dada pela regra do quociente (exatamente como em uma variável, só que diferenciando N e D em relação a x):
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\frac{\partial N}{\partial x}\,D - N\,\frac{\partial D}{\partial x}}{D^{2}}.
Aqui N(x,y)=x^{3}-y^{3} e D(x,y)=x^{2}+y^{2}. Vamos calcular as derivadas parciais de N e D em relação a x:
\frac{\partial N}{\partial x}=3x^{2},\qquad \frac{\partial D}{\partial x}=2x.

Passo 3

Aplicando a fórmula para (x,y)\neq(0,0):
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{3x^{2}(x^{2}+y^{2})-(x^{3}-y^{3})\cdot 2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Agora simplifico o numerador passo a passo:
3x^{2}(x^{2}+y^{2})-2x(x^{3}-y^{3}) =3x^{4}+3x^{2}y^{2}-2x^{4}+2xy^{3}.
Agrupando termos:
= x^{4}+3x^{2}y^{2}+2x y^{3}.
Portanto, para (x,y)\neq(0,0),
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{x^{4}+3x^{2}y^{2}+2x y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 4

Agora a derivada parcial em relação a y para (x,y)\neq(0,0).
Usamos a mesma ideia: \dfrac{\partial N}{\partial y}=-3y^{2} e \dfrac{\partial D}{\partial y}=2y. Assim
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \frac{(-3y^{2})(x^{2}+y^{2})-(x^{3}-y^{3})\cdot 2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Simplifico o numerador:
-3y^{2}(x^{2}+y^{2})-2y(x^{3}-y^{3}) = -3x^{2}y^{2}-3y^{4}-2x^{3}y+2y^{4} = -2x^{3}y-3x^{2}y^{2}-y^{4}.
Fatorando um menos e um y se quiser:
= -\big(2x^{3}y+3x^{2}y^{2}+y^{4}\big).
Portanto, para (x,y)\neq(0,0),
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)= -\frac{2x^{3}y+3x^{2}y^{2}+y^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 5

Derivadas parciais no ponto (0,0) — definição.
Lembrete da definição (muito importante para provas): a derivada parcial de f em (0,0) em relação a x é
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h},
e em relação a y é
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{k\to0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}.
Calculo prático:
Para h\neq0,
f(h,0)=\frac{h^{3}-0}{h^{2}+0}= \frac{h^{3}}{h^{2}}=h.
Logo
\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{h-0}{h}=1,
portanto
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=1.
Para k\neq0,
f(0,k)=\frac{0-k^{3}}{0+k^{2}}=-\frac{k^{3}}{k^{2}}=-k.
Logo
\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=\frac{-k-0}{k}=-1,
portanto
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=-1.

Passo 6

Continuidade de f em (0,0).
Usa-se polar para testar limites de funções homogêneas: coloque x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. Para (x,y)\neq(0,0),
f(x,y)=\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}} = \frac{r^{3}(\cos^{3}\theta-\sin^{3}\theta)}{r^{2}} = r\big(\cos^{3}\theta-\sin^{3}\theta\big).
Quando (x,y)\to(0,0) corresponde a r\to0^{+} enquanto \theta fica qualquer ângulo. Como \cos^{3}\theta-\sin^{3}\theta é limitado (tem valor entre constantes finitas), o produto com r tende a 0. Formalmente,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=\lim_{r\to0} r(\cos^{3}\theta-\sin^{3}\theta)=0.
Como f(0,0)=0, segue que f é contínua em (0,0).
Outra observação prática útil em prova: |f(x,y)|\le r(|\cos^{3}\theta|+|\sin^{3}\theta|)\le r, então tende a 0.

Passo 7

Continuidade das derivadas parciais em (0,0).
Para decidir se \dfrac{\partial f}{\partial x} é contínua em (0,0) compare o valor no ponto \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=1 com o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y).
Usando a expressão obtida no Passo 3 e novamente coordenadas polares x=r\cos\theta,\\ y=r\sin\theta, note que tanto numerador quanto denominador escalam como r^{4}, então o limite quando r\to0 (se existir) depende só de \theta:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \frac{r^{4}\big(\cos^{4}\theta+3\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta+2\cos\theta\sin^{3}\theta\big)}{r^{4}} = \cos^{4}\theta+3\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta+2\cos\theta\sin^{3}\theta.
Assim
\lim_{r\to0}\frac{\partial f}{\partial x}(r\cos\theta,r\sin\theta) = \cos^{4}\theta+3\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta+2\cos\theta\sin^{3}\theta,
que depende de \theta. Por exemplo:
  • Para \theta=0 (outra forma: na reta y=0) a expressão vale 1.
  • Para \theta=\tfrac{\pi}{2} (reta x=0) a expressão vale 0.
Como o limite depende do ângulo, o limite total \lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) não existe como um único valor igual a 1. Logo \dfrac{\partial f}{\partial x} não é contínua em (0,0).
Análogo para \dfrac{\partial f}{\partial y}: usando a fórmula do Passo 4,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = -\big(2\cos^{3}\theta\sin\theta+3\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta+\sin^{4}\theta\big)
quando escrito em termos de \theta (pois o fator r^{4} cancela). Assim o limite angular varia com \theta. Por exemplo:
  • Para \theta=\tfrac{\pi}{2} (reta x=0) dá -1, que coincide com \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=-1.
  • Para \theta=0 (reta y=0) dá 0, diferente de -1.
Portanto \dfrac{\partial f}{\partial y} também não é contínua em (0,0).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x^{4}+3x^{2}y^{2}+2x y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[8pt] 1, & (x,y)=(0,0), \end{cases}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\begin{cases} -\dfrac{2x^{3}y+3x^{2}y^{2}+y^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[8pt] -1, & (x,y)=(0,0). \end{cases}
f é contínua em (0,0).
\dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} não são contínuas em (0,0).]

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