f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}
Calcule \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) e \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) em todos os pontos do plano. f é contínua em (0,0) ? \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) e \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) sảo contínuas em (0,0) ?
Calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) em todos os pontos do plano (ou seja, para (x,y)\neq(0,0) e para (0,0)).
Verificar se f é contínua em (0,0).
Verificar se \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} são contínuas em (0,0).
Listei as perguntas claramente; a partir daqui vamos calcular passo a passo.]
Passo 2
Derivadas parciais em (x,y)\neq(0,0) — preparação e regra do quociente.
Quando temos f(x,y)=\dfrac{N(x,y)}{D(x,y)} com D\neq0, a derivada parcial em relação a x é dada pela regra do quociente (exatamente como em uma variável, só que diferenciando N e D em relação a x):
Quando (x,y)\to(0,0) corresponde a r\to0^{+} enquanto \theta fica qualquer ângulo. Como \cos^{3}\theta-\sin^{3}\theta é limitado (tem valor entre constantes finitas), o produto com r tende a 0. Formalmente,
Usando a expressão obtida no Passo 3 e novamente coordenadas polares x=r\cos\theta,\\ y=r\sin\theta, note que tanto numerador quanto denominador escalam como r^{4}, então o limite quando r\to0 (se existir) depende só de \theta:
Para \theta=0 (outra forma: na reta y=0) a expressão vale 1.
Para \theta=\tfrac{\pi}{2} (reta x=0) a expressão vale 0.
Como o limite depende do ângulo, o limite total \lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) não existe como um único valor igual a 1. Logo \dfrac{\partial f}{\partial x} não é contínua em (0,0).
Análogo para \dfrac{\partial f}{\partial y}: usando a fórmula do Passo 4,