f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}
(a) f é contínua em (0,0) ?
(b) Calcule \frac{\partial f}{\partial x} - Ela é contínua \mathrm{em}(0,0) ?
(c) Calcule \frac{\partial f}{\partial y}. Ela é contínua em (0,0) ?
(d) f é diferenciável em (0,0) ?
e pede quatro coisas:
(a) verificar se f é contínua em (0,0);
(b) calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} e dizer se essa derivada parcial é contínua em (0,0);
(c) calcular \dfrac{\partial f}{\partial y} e dizer se essa derivada parcial é contínua em (0,0);
(d) decidir se f é diferenciável em (0,0).
Informações relevantes que temos do enunciado:
A fórmula de f para (x,y)\neq(0,0) é \dfrac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}.
O valor de f no ponto (0,0) é 0.
Para (b) e (c) precisamos tanto das derivadas em pontos (x,y)\neq(0,0) quanto dos valores das derivadas no próprio (0,0) (definidos pela definição limite).
Para (a) e (d) vamos analisar o comportamento de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0).]
Passo 2
Definição e teste de continuidade em (0,0).
Lembrete rápido (o que significa ser contínua em (0,0)): f é contínua em (0,0) se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=0.
Um método prático é usar coordenadas polares: escrever x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta com r\ge0 e ver o comportamento quando r\to0^+ (se a expressão tender a 0 independentemente de \theta, a função é contínua).
Cálculo das derivadas parciais para (x,y)\neq(0,0) usando regra do quociente.
Para (x,y)\neq(0,0) escrevemos f(x,y)=\dfrac{u(x,y)}{v(x,y)} com u(x,y)=x^{2}y e v(x,y)=x^{2}+y^{2}.
Regra do quociente (derivada parcial em relação a x):
Observação importante: a dependência em r cancelou; o valor limite quando r\to0 é simplesmente a função angular 2\cos\theta\sin^{3}\theta, que depende de \theta. Portanto o limite depende do caminho de aproximação (do ângulo \theta), logo o limite quando (x,y)\to(0,0) não existe como um único valor. Em particular não é igual a 0 de forma única.
Como os limites ao longo de caminhos diferentes são distintos, a derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial x} não tem limite único em (0,0) e, portanto, não é contínua em (0,0).
Passo 6
Verificação da continuidade de \dfrac{\partial f}{\partial y} em (0,0).
Novamente o fator r cancela e o valor limite quando r\to0 fica igual a \cos^{2}\theta\cos 2\theta, que depende de \theta. Logo o limite depende do caminho e não existe como um único valor.
Exemplos:
Pela reta y=0 (\theta=0) obtemos \cos^{2}0\cos 0=1\cdot1=1.
Pela reta x=0 (\theta=\pi/2) obtemos \cos^{2}\tfrac{\pi}{2}\cos \pi=0\cdot(-1)=0.
Como os limites por caminhos diferentes são diferentes, \dfrac{\partial f}{\partial y} não é contínua em (0,0).
Passo 7
Verificação da diferenciabilidade de f em (0,0).
Definição prática: f é diferenciável em (0,0) se existe uma aproximação linear
f(x,y)=f(0,0)+A x + B y + o(\sqrt{x^{2}+y^{2}}),
quando (x,y)\to(0,0). Aqui A=\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0) e B=\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0). Pelo Passo 3 temos A=0 e B=0. Portanto a condição fica
Usando a expressão em coordenadas polares do Passo 2:
f(x,y)=r\cos^{2}\theta\sin\theta.
Divide-se por r:
\frac{f(x,y)}{r}=\cos^{2}\theta\sin\theta.
Esse quociente não depende de r e depende de \theta. Para que o limite fosse 0 seria necessário que \cos^{2}\theta\sin\theta fosse 0 para todo \theta, o que não é verdade (por exemplo para \theta=\pi/4 o valor é \dfrac{\sqrt{2}}{4}\neq0). Logo o limite não é 0; assim f(x,y) não é o(r) e f não é diferenciável em (0,0).
Uma forma concreta de ver o fracasso da diferenciabilidade: ao longo da reta y=x (ou \theta=\pi/4), temos
que não tende a 0 quando x\to0 (não existe limite zero). Portanto diferenciabilidade falha.
Conclusão: f não é diferenciável em (0,0).
Resposta
(a) f\) é contínua em \((0,0)\).\n
(b) \(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\begin{cases}\dfrac{2x y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}},&(x,y)\neq(0,0)\\[6pt]0,&(x,y)=(0,0)\end{cases} ; não é contínua em [(0,0)).\n
(c) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x^{2}(x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}},&(x,y)\neq(0,0)\\[6pt]0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}\] ; não é contínua em \((0,0).\n