Seja
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}
(a) f é contínua em (0,0) ?
(b) Calcule \frac{\partial f}{\partial x} - Ela é contínua \mathrm{em}(0,0) ?
(c) Calcule \frac{\partial f}{\partial y}. Ela é contínua em (0,0) ?
(d) f é diferenciável em (0,0) ?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}, & (x,y)\neq(0,0)\\[6pt]0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}
e pede quatro coisas:
(a) verificar se f é contínua em (0,0);
(b) calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} e dizer se essa derivada parcial é contínua em (0,0);
(c) calcular \dfrac{\partial f}{\partial y} e dizer se essa derivada parcial é contínua em (0,0);
(d) decidir se f é diferenciável em (0,0).
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A fórmula de f para (x,y)\neq(0,0) é \dfrac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}.
  • O valor de f no ponto (0,0) é 0.
  • Para (b) e (c) precisamos tanto das derivadas em pontos (x,y)\neq(0,0) quanto dos valores das derivadas no próprio (0,0) (definidos pela definição limite).
  • Para (a) e (d) vamos analisar o comportamento de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0).]

Passo 2

Definição e teste de continuidade em (0,0).
Lembrete rápido (o que significa ser contínua em (0,0)): f é contínua em (0,0) se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=0.
Um método prático é usar coordenadas polares: escrever x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta com r\ge0 e ver o comportamento quando r\to0^+ (se a expressão tender a 0 independentemente de \theta, a função é contínua).
Substituindo em f para (x,y)\neq(0,0):
f(x,y)=\frac{x^{2}y}{x^{2}+y^{2}} =\frac{(r\cos\theta)^{2}\,(r\sin\theta)}{r^{2}} = r\cos^{2}\theta\sin\theta.
Como \cos^{2}\theta\sin\theta é limitado (é uma função angular finita, pois |\cos^{2}\theta\sin\theta|\le1), temos
\lim_{r\to0^+} r\cos^{2}\theta\sin\theta = 0,
independentemente de \theta. Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0=f(0,0).
Conclusão: f é contínua em (0,0).

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais em (0,0) usando a definição (derivada direcional ao longo dos eixos).
Definição: \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(h,0)-f(0,0)}{h} e \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(0,h)-f(0,0)}{h}.
Calcule \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0):
Para y=0 e x\neq0 temos f(x,0)=\dfrac{x^{2}\cdot 0}{x^{2}+0}=0. Logo
\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{0-0}{h}=0
para todo h\neq0. Assim
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}0=0.
Calcule \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0):
Para x=0 e y\neq0 temos f(0,y)=\dfrac{0\cdot y}{0+y^{2}}=0. Logo
\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=\frac{0-0}{h}=0,
e
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{h\to0}0=0.
Portanto as derivadas parciais no ponto (0,0) existem e valem
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.

Passo 4

Cálculo das derivadas parciais para (x,y)\neq(0,0) usando regra do quociente.
Para (x,y)\neq(0,0) escrevemos f(x,y)=\dfrac{u(x,y)}{v(x,y)} com u(x,y)=x^{2}y e v(x,y)=x^{2}+y^{2}.
Regra do quociente (derivada parcial em relação a x):
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u_{x}v-uv_{x}}{v^{2}},
onde u_{x}=\dfrac{\partial u}{\partial x} e v_{x}=\dfrac{\partial v}{\partial x}.
Calcule u_{x} e v_{x}:
u_{x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y)=2xy,\qquad v_{x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2})=2x.
Logo, para (x,y)\neq(0,0),
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\frac{(2xy)(x^{2}+y^{2})-(x^{2}y)(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Simplificando o numerador:
(2xy)(x^{2}+y^{2})-(x^{2}y)(2x)=2x^{3}y+2xy^{3}-2x^{3}y=2x y^{3}.
Portanto, para (x,y)\neq(0,0),
\boxed{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{2x y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.}
Agora a derivada parcial em relação a y. Regra do quociente:
u_{y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y)=x^{2},\qquad v_{y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2})=2y,
então
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\frac{(x^{2})(x^{2}+y^{2})-(x^{2}y)(2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Simplificando o numerador:
x^{2}(x^{2}+y^{2})-2x^{2}y^{2}=x^{4}+x^{2}y^{2}-2x^{2}y^{2}=x^{4}-x^{2}y^{2}=x^{2}(x^{2}-y^{2}).
Portanto, para (x,y)\neq(0,0),
\boxed{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{x^{2}(x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.}
Resumo até aqui:
  • Para (x,y)\neq(0,0) as fórmulas acima valem.
  • Em (0,0) ambas as derivadas parciais valem 0 (Passo 3).

Passo 5

Verificação da continuidade de \dfrac{\partial f}{\partial x} em (0,0).
Definição prática: \dfrac{\partial f}{\partial x} é contínua em (0,0) se
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0.
Usamos coordenadas polares para avaliar o limite da expressão encontrada em Passo 4:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{2x y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Substituindo x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta:
\frac{\partial f}{\partial x}(r,\theta) =\frac{2 (r\cos\theta)(r\sin\theta)^{3}}{(r^{2})^{2}} =\frac{2 r^{4}\cos\theta\sin^{3}\theta}{r^{4}} =2\cos\theta\sin^{3}\theta.
Observação importante: a dependência em r cancelou; o valor limite quando r\to0 é simplesmente a função angular 2\cos\theta\sin^{3}\theta, que depende de \theta. Portanto o limite depende do caminho de aproximação (do ângulo \theta), logo o limite quando (x,y)\to(0,0) não existe como um único valor. Em particular não é igual a 0 de forma única.
Exemplos de caminhos:
  • Ao longo da reta y=x (isto é \theta=\pi/4) temos
\lim_{(x,x)\to(0,0)}\frac{\partial f}{\partial x}(x,x)=2\cos\frac{\pi}{4}\sin^{3}\frac{\pi}{4}=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{3}=\tfrac{1}{2}.
  • Ao longo do eixo y-positivo ( \theta=\pi/2) obtemos
2\cos\frac{\pi}{2}\sin^{3}\frac{\pi}{2}=2\cdot 0\cdot 1=0.
Como os limites ao longo de caminhos diferentes são distintos, a derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial x} não tem limite único em (0,0) e, portanto, não é contínua em (0,0).

Passo 6

Verificação da continuidade de \dfrac{\partial f}{\partial y} em (0,0).
Queremos ver se
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.
Usando a fórmula do Passo 4,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{x^{2}(x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Em coordenadas polares:
x^{2}=r^{2}\cos^{2}\theta,\qquad x^{2}-y^{2}=r^{2}(\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta)=r^{2}\cos 2\theta,
e (x^{2}+y^{2})^{2}=r^{4}. Assim
\frac{\partial f}{\partial y}(r,\theta) =\frac{r^{2}\cos^{2}\theta\cdot r^{2}\cos 2\theta}{r^{4}}=\cos^{2}\theta\cos 2\theta.
Novamente o fator r cancela e o valor limite quando r\to0 fica igual a \cos^{2}\theta\cos 2\theta, que depende de \theta. Logo o limite depende do caminho e não existe como um único valor.
Exemplos:
  • Pela reta y=0 ( \theta=0) obtemos \cos^{2}0\cos 0=1\cdot1=1.
  • Pela reta x=0 ( \theta=\pi/2) obtemos \cos^{2}\tfrac{\pi}{2}\cos \pi=0\cdot(-1)=0.
Como os limites por caminhos diferentes são diferentes, \dfrac{\partial f}{\partial y} não é contínua em (0,0).

Passo 7

Verificação da diferenciabilidade de f em (0,0).
Definição prática: f é diferenciável em (0,0) se existe uma aproximação linear
f(x,y)=f(0,0)+A x + B y + o(\sqrt{x^{2}+y^{2}}),
quando (x,y)\to(0,0). Aqui A=\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0) e B=\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0). Pelo Passo 3 temos A=0 e B=0. Portanto a condição fica
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-0-0-0}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0,
isto é
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)}{r}=0,\quad r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Usando a expressão em coordenadas polares do Passo 2:
f(x,y)=r\cos^{2}\theta\sin\theta.
Divide-se por r:
\frac{f(x,y)}{r}=\cos^{2}\theta\sin\theta.
Esse quociente não depende de r e depende de \theta. Para que o limite fosse 0 seria necessário que \cos^{2}\theta\sin\theta fosse 0 para todo \theta, o que não é verdade (por exemplo para \theta=\pi/4 o valor é \dfrac{\sqrt{2}}{4}\neq0). Logo o limite não é 0; assim f(x,y) não é o(r) e f não é diferenciável em (0,0).
Uma forma concreta de ver o fracasso da diferenciabilidade: ao longo da reta y=x (ou \theta=\pi/4), temos
\frac{f(x,x)}{\sqrt{x^{2}+x^{2}}}=\frac{f(x,x)}{\sqrt{2}|x|} =\frac{\dfrac{x^{2}\cdot x}{x^{2}+x^{2}}}{\sqrt{2}|x|} =\frac{\dfrac{x^{3}}{2x^{2}}}{\sqrt{2}|x|} =\frac{x/2}{\sqrt{2}|x|}=\frac{\operatorname{sgn}(x)}{2\sqrt{2}},
que não tende a 0 quando x\to0 (não existe limite zero). Portanto diferenciabilidade falha.
Conclusão: f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

(a) f\) é contínua em \((0,0)\).\n (b) \(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\begin{cases}\dfrac{2x y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}},&(x,y)\neq(0,0)\\[6pt]0,&(x,y)=(0,0)\end{cases} ; não é contínua em [(0,0)).\n
(c) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x^{2}(x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}},&(x,y)\neq(0,0)\\[6pt]0,&(x,y)=(0,0)\end{cases}\] ; não é contínua em \((0,0).\n
(d) f não é diferenciável em (0,0).]

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