3^{a} ) (4 pontos) Calcule a derivada da função F(x) sendo dado
F(x)=\int_{5 x^{2}}^{3} t^{2} \operatorname{sen}\left(t^{3}+3\right) d t

Passo 1

O enunciado dá a função definida por
F(x)=\int_{5x^{2}}^{3} t^{2}\sin\!\left(t^{3}+3\right)\,dt.
O que se pede: calcular a derivada F'(x).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A integral tem limite superior constante 3.
  • O limite inferior é uma função de x: a(x)=5x^{2}.
  • A função integranda é f(t)=t^{2}\sin\!\left(t^{3}+3\right).

Passo 2

Fórmula que vamos usar (Teorema Fundamental do Cálculo + Regra da Cadeia):
Seja
G(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt,
então
G'(x)=f\big(b(x)\big)\,b'(x)-f\big(a(x)\big)\,a'(x).
Explicação didática: a versão mais simples é que, quando só o limite superior varia, \dfrac{d}{dx}\int_{c}^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))\,g'(x) (isso vem do Teorema Fundamental do Cálculo e da regra da cadeia). Se o limite inferior varia, aparece um sinal negativo porque trocar os limites inverte o sinal da integral; por isso surge o termo -f(a(x))a'(x).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso F(x):
  • Aqui b(x)=3 (constante), logo b'(x)=0.
  • a(x)=5x^{2}, logo a'(x)=10x.
    Portanto
F'(x)=f(3)\cdot 0 - f\big(5x^{2}\big)\cdot 10x = -10x\;f\big(5x^{2}\big).

Passo 4

Agora substituímos f(t)=t^{2}\sin\!\left(t^{3}+3\right) em f(5x^{2}):
f\big(5x^{2}\big)=(5x^{2})^{2}\sin\!\big((5x^{2})^{3}+3\big).
Calculemos as potências:
(5x^{2})^{2}=25x^{4},\qquad (5x^{2})^{3}=125x^{6}.
Logo
f\big(5x^{2}\big)=25x^{4}\sin\!\big(125x^{6}+3\big).

Passo 5

Substituindo em F'(x)=-10x\;f(5x^{2}) obtemos
F'(x)=-10x\cdot 25x^{4}\sin\!\big(125x^{6}+3\big)=-250x^{5}\sin\!\big(125x^{6}+3\big).
Comentário final rápido: o domínio natural desta derivada é todo \mathbb{R}; a técnica usada foi aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia.

Resposta

-250x^{5}\sin\!\big(125x^{6}+3\big)

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