) (4 pontos) Calcule a derivada da função
sendo dado
Passo 1
O enunciado dá a função definida por
O que se pede: calcular a derivada
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A integral tem limite superior constante
. - O limite inferior é uma função de
: . - A função integranda é
.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (Teorema Fundamental do Cálculo + Regra da Cadeia):
Seja
Seja
então
Explicação didática: a versão mais simples é que, quando só o limite superior varia,
(isso vem do Teorema Fundamental do Cálculo e da regra da cadeia). Se o limite inferior varia, aparece um sinal negativo porque trocar os limites inverte o sinal da integral; por isso surge o termo
.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso
:
- Aqui
(constante), logo . -
, logo .
Portanto
Passo 4
Agora substituímos
em
:
Calculemos as potências:
Logo
Passo 5
Substituindo em
obtemos
Comentário final rápido: o domínio natural desta derivada é todo
; a técnica usada foi aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia.