Seja
f(x, y)= \begin{cases}\left(x^{3}+y\right) \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right), & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}
Determine \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) se existirem. \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) é contínua em (0,0) ?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)= \begin{cases} \bigl(x^{3}+y\bigr)\sin\!\left(\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\right), & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & \text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
As perguntas são:
  • Determinar \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0) se existir.
  • Determinar \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0) se existir.
  • Verificar se \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) é contínua em (0,0).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão explícita de f para (x,y)\neq(0,0) é (x^{3}+y)\sin\bigl(1/(x^{2}+y^{2})\bigr).
  • O valor de f em (0,0) é 0.
  • Para testar existência das derivadas parciais em (0,0) usar a definição
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h},
quando esses limites existirem.]

Passo 2

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0) pela definição (aproximação ao longo do eixo x).
Começo escrevendo o quociente de diferença:
\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=\frac{(h^{3}+0)\sin\!\left(\dfrac{1}{h^{2}+0}\right)-0}{h} = h^{2}\sin\!\left(\dfrac{1}{h^{2}}\right).
Explicando por que: ao fixar y=0 obtemos f(h,0)=h^3\sin(1/h^2). Dividindo por h fica h^2\sin(1/h^2).
Agora analisar o limite quando h\to0. A função \sin é limitada: |\sin t|\le 1. Portanto
\left|h^{2}\sin\!\left(\frac{1}{h^{2}}\right)\right|\le h^{2},
e como h^{2}\to0 quando h\to0, o produto tende a 0. Logo
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0.
Comentário didático: a ideia foi usar que o fator h^{2} anula as oscilações da \sin, pois h^{2} vai a zero mais rápido do que a \sin pode oscilar.

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0) pela definição (aproximação ao longo do eixo y).
Escrevo o quociente de diferença:
\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=\frac{(0+h)\sin\!\left(\dfrac{1}{0+h^{2}}\right)-0}{h} =\sin\!\left(\frac{1}{h^{2}}\right).
Portanto a derivada parcial em y na origem seria \lim_{h\to0}\sin(1/h^{2}), se esse limite existisse.
Mas esse limite NÃO existe porque \sin(1/h^{2}) oscila entre -1 e 1 quando h\to0. Para ser mais concreto, constrói-se duas sequências h_{n}\to0 com valores de \sin(1/h_{n}^{2}) com sinais opostos:
  • Escolha h_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{\tfrac{\pi}{2}+2\pi n}}. Então
\frac{1}{h_{n}^{2}}=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad\Rightarrow\quad \sin\!\left(\frac{1}{h_{n}^{2}}\right)=1.
  • Escolha k_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{\tfrac{3\pi}{2}+2\pi n}}. Então
\frac{1}{k_{n}^{2}}=\frac{3\pi}{2}+2\pi n \quad\Rightarrow\quad \sin\!\left(\frac{1}{k_{n}^{2}}\right)=-1.
Como existem sequências que dão limites diferentes ( 1 e -1), o limite \lim_{h\to0}\sin(1/h^{2}) não existe. Logo
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\\ \text{não existe}.ã
Comentário didático: ao calcular a derivada parcial em y fixamos x=0 e vemos que o fator h que dividiria não domina a oscilação da \sin; não há fator que anule a oscilação como aconteceu no caso da variável x.

Passo 4

Agora vamos obter a fórmula de \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) para (x,y)\neq(0,0), usando regra do produto e regra da cadeia — e explico passo a passo.
Escrevemos f(x,y)=(x^{3}+y)\cdot \sin\bigl(q(x,y)\bigr) com q(x,y)=\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}. Pela regra do produto,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(x^{3}+y)\cdot \sin(q(x,y)) +(x^{3}+y)\cdot \frac{\partial}{\partial x}\bigl(\sin(q(x,y))\bigr).
Aqui \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{3}+y)=3x^{2} (porque y é visto como constante ao derivar em relação a x). Para a segunda parcela, aplica-se a regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\sin(q(x,y))\bigr)=\cos(q(x,y))\cdot \frac{\partial q}{\partial x}(x,y).
E
\frac{\partial q}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\left((x^{2}+y^{2})^{-1}\right) =-1\cdot (x^{2}+y^{2})^{-2}\cdot 2x =-\frac{2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Juntando tudo:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=3x^{2}\sin\!\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right) -(x^{3}+y)\cdot\frac{2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\cos\!\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right),
válida para (x,y)\neq(0,0).
Comentário didático: é a aplicação direta de duas regras básicas — produto e cadeia — que provavelmente o professor espera que o aluno domine. Cada termo tem sentido: o primeiro vem da derivada da frente (x^3+y), o segundo da variação do argumento da \sin quando x muda.

Passo 5

Verificar continuidade de \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) em (0,0).
Para a continuidade em (0,0) seria necessário que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0.
Mostrarei que esse limite NÃO existe (logo não é contínua) examinando a aproximação ao longo do eixo y=0.
Se y=0 e x\neq0, a fórmula do passo anterior torna-se
\frac{\partial f}{\partial x}(x,0)=3x^{2}\sin\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right) -(x^{3}+0)\cdot\frac{2x}{(x^{2})^{2}}\cos\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right).
Calculando os fatores: (x^{2})^{2}=x^{4} e (x^{3})\cdot 2x = 2x^{4}. Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}(x,0)=3x^{2}\sin\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right) -2\cos\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right).
Observe que o primeiro termo 3x^{2}\sin(1/x^{2}) tende a 0 quando x\to0, mas o segundo termo é -2\cos(1/x^{2}), que oscila entre -2 e 2 sem ter limite quando x\to0. Assim, ao aproximar a origem ao longo do eixo y=0 a derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,0) não tem limite; por exemplo existem sequências x_n\to0 com \cos(1/x_n^{2})=1 e outras com \cos(1/x_n^{2})=-1, dando valores -2 e 2 no limite. Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)
não existe, e em particular não é igual a 0. Conclusão: \dfrac{\partial f}{\partial x} não é contínua em (0,0).
Comentário didático: é comum em problemas assim que a derivada parcial em um ponto exista (porque um fator pequeno anula oscilações), mas a derivada parcial como função apresente um termo singular que impede continuidade. Aqui o fator (x^{3}+y) junto ao derivado de \sin(1/(x^{2}+y^{2})) gerou o termo com denominação (x^{2}+y^{2})^{2} que, ao aproximar por certas curvas (aqui por y=0), não é anulado suficientemente e provoca oscilações.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\\ \text{não existe}ã
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\\ \text{não é contínua em }(0,0)ãéí

Exercícios relacionados