f(x, y)= \begin{cases}\left(x^{3}+y\right) \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right), & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}
Determine \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) se existirem. \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) é contínua em (0,0) ?
Portanto a derivada parcial em y na origem seria \lim_{h\to0}\sin(1/h^{2}), se esse limite existisse.
Mas esse limite NÃO existe porque \sin(1/h^{2}) oscila entre -1 e 1 quando h\to0. Para ser mais concreto, constrói-se duas sequências h_{n}\to0 com valores de \sin(1/h_{n}^{2}) com sinais opostos:
Escolha h_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{\tfrac{\pi}{2}+2\pi n}}. Então
\frac{1}{h_{n}^{2}}=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad\Rightarrow\quad \sin\!\left(\frac{1}{h_{n}^{2}}\right)=1.
Escolha k_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{\tfrac{3\pi}{2}+2\pi n}}. Então
\frac{1}{k_{n}^{2}}=\frac{3\pi}{2}+2\pi n \quad\Rightarrow\quad \sin\!\left(\frac{1}{k_{n}^{2}}\right)=-1.
Como existem sequências que dão limites diferentes (1 e -1), o limite \lim_{h\to0}\sin(1/h^{2}) não existe. Logo
Comentário didático: ao calcular a derivada parcial em y fixamos x=0 e vemos que o fator h que dividiria não domina a oscilação da \sin; não há fator que anule a oscilação como aconteceu no caso da variável x.
Passo 4
Agora vamos obter a fórmula de \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) para (x,y)\neq(0,0), usando regra do produto e regra da cadeia — e explico passo a passo.
Escrevemos f(x,y)=(x^{3}+y)\cdot \sin\bigl(q(x,y)\bigr) com q(x,y)=\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}. Pela regra do produto,
Aqui \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{3}+y)=3x^{2} (porque y é visto como constante ao derivar em relação a x). Para a segunda parcela, aplica-se a regra da cadeia:
Comentário didático: é a aplicação direta de duas regras básicas — produto e cadeia — que provavelmente o professor espera que o aluno domine. Cada termo tem sentido: o primeiro vem da derivada da frente (x^3+y), o segundo da variação do argumento da \sin quando x muda.
Passo 5
Verificar continuidade de \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) em (0,0).
Observe que o primeiro termo 3x^{2}\sin(1/x^{2}) tende a 0 quando x\to0, mas o segundo termo é -2\cos(1/x^{2}), que oscila entre -2 e 2 sem ter limite quando x\to0. Assim, ao aproximar a origem ao longo do eixo y=0 a derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,0) não tem limite; por exemplo existem sequências x_n\to0 com \cos(1/x_n^{2})=1 e outras com \cos(1/x_n^{2})=-1, dando valores -2 e 2 no limite. Portanto
não existe, e em particular não é igual a 0. Conclusão: \dfrac{\partial f}{\partial x} não é contínua em (0,0).
Comentário didático: é comum em problemas assim que a derivada parcial em um ponto exista (porque um fator pequeno anula oscilações), mas a derivada parcial como função apresente um termo singular que impede continuidade. Aqui o fator (x^{3}+y) junto ao derivado de \sin(1/(x^{2}+y^{2})) gerou o termo com denominação (x^{2}+y^{2})^{2} que, ao aproximar por certas curvas (aqui por y=0), não é anulado suficientemente e provoca oscilações.
Resposta
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0 \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\\ \text{não existe}ã \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\\ \text{não é contínua em }(0,0)ãéí