seja f(x, y)=y cdot cos (x y), calcule partial fpartial y(1, pi2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a derivada parcial de em relação a no ponto . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, e vamos precisar aplicar a regra do produto e a regra da cadeia para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . A função é um produto de duas funções de : e . Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
partial fpartial y = ddy [y] cdot cos(x y) + y cdot ddy [cos(x y)]
Sabemos que ddy [cos(x y)] = -sin(x y) cdot ddy [x y] = -sin(x y) cdot x . Agora, vamos derivar partial fpartial y = 1 cdot cos(x y) + y cdot (-x sin(x y)) = cos(x y) - x y sin(x y) em relação a . Para isso, usamos a regra da cadeia:
Então, substituindo de volta:

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores partial fpartial y(1, pi2) = cos(1 cdot pi2) - 1 cdot pi2 cdot sin(1 cdot pi2) e partial fpartial y(1, pi2) = 0 - pi2 cdot 1 = -pi2 na expressão que encontramos:
Sabemos que e , então:

Resposta

partial fpartial y(1, pi2) = -pi2

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