A função
definida por
se
, é contínua em
? É contínua em
? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e, para
,
As perguntas são:
- A função
é contínua em um ponto arbitrário com ? - A função
é contínua em ?
Vou listar as informações relevantes que recebemos:
- A expressão para
quando é uma razão de polinômios em . - O valor de
no ponto foi definido explicitamente como . - Para analisar continuidade em
precisamos comparar o valor da função no ponto com o limite quando esse ponto.
Passo 2
Primeira observação algébrica útil (fatoração do numerador). Vou simplificar o numerador
. Colocando
em evidência:
Agora note que
. Portanto
Substituindo na definição de
(para
) obtemos a forma mais simples
Passo 3
Teorema útil sobre continuidade (explicado de forma simples): polinômios em
são funções contínuas em
. Soma e produto de funções contínuas são contínuos. Se
e
são contínuas e
não se anula em torno de um ponto, então a razão
é contínua naquele ponto. Aqui o numerador
e o denominador
são polinômios em
, logo contínuos em todo
.
Para
a chave é que o denominador não é zero:
pois soma de quadrados só pode ser zero em
e
simultaneamente, isto é, em
apenas. Assim, no ponto
temos denominador estritamente positivo num entorno do ponto. Pelo teorema da razão de funções contínuas,
é contínua em qualquer
com
.
Comentário prático: na prova, basta apontar que a expressão é uma razão de polinômios e que o denominador não se anula no ponto considerado; isso garante continuidade.
Passo 4
Agora verificar a continuidade em
. Lembrete da definição de continuidade em
num ponto
:
é contínua em
se e somente se
No nosso caso
e
. Então precisaríamos ter
Vou investigar esse limite usando a forma simplificada
Passo 5
Teste de limites por caminhos diferentes (explicação didática). Uma maneira prática de mostrar que um limite em
não existe é encontrar duas curvas que se aproximam do ponto e dão limites diferentes.
Primeiro caminho simples: aproximar por pontos com
(e
). Para
e
temos
Logo, ao aproximar
ao longo do eixo
(i.e.
), o valor de
tende para
. Portanto
Mas
. Como o limite ao longo dessa direção é
, já se conclui que
não é contínua em
: a condição
falha.
Passo 6
Para reforçar a ideia (e ensinar outra técnica), considere um segundo tipo de caminho: definir
com constante
e fazer
. Substituindo
na expressão simplificada,
Assim, ao aproximar por curvas
obtemos limites diferentes dependendo de
: o limite é
. Por exemplo, para
(o caso anterior) obtemos
; para
obtemos
; para
o valor tende a
de novo, etc. Como há caminhos que produzem valores distintos, o limite
não existe. Em particular não existe limite igual a
, então
não é contínua em
.
Resposta
Sim:
é contínua em qualquer ponto
com
.
Não:
não é contínua em
.