A função f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(1,0)=1, f(x, y)=\frac{x^{2} y-2 x y+y}{(x-1)^{4}+y^{2}} se (x, y) \neq (1,0), é contínua em (a, b) \neq(1,0) ? É contínua em (1,0) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por
f(1,0)=1,
e, para (x,y)\neq(1,0),
f(x,y)=\frac{x^{2}y-2xy+y}{(x-1)^{4}+y^{2}}.
As perguntas são:
  • A função f é contínua em um ponto arbitrário (a,b) com (a,b)\neq(1,0)?
  • A função f é contínua em (1,0)?
Vou listar as informações relevantes que recebemos:
  • A expressão para f(x,y) quando (x,y)\neq(1,0) é uma razão de polinômios em x,y.
  • O valor de f no ponto (1,0) foi definido explicitamente como 1.
  • Para analisar continuidade em \mathbb{R}^2 precisamos comparar o valor da função no ponto com o limite quando (x,y)\to esse ponto.

Passo 2

Primeira observação algébrica útil (fatoração do numerador). Vou simplificar o numerador x^{2}y-2xy+y. Colocando y em evidência:
x^{2}y-2xy+y = y\bigl(x^{2}-2x+1\bigr).
Agora note que x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}. Portanto
x^{2}y-2xy+y = y(x-1)^{2}.
Substituindo na definição de f (para (x,y)\neq(1,0)) obtemos a forma mais simples
f(x,y)=\frac{y(x-1)^{2}}{(x-1)^{4}+y^{2}},\qquad (x,y)\neq(1,0).

Passo 3

Teorema útil sobre continuidade (explicado de forma simples): polinômios em x,y são funções contínuas em \mathbb{R}^2. Soma e produto de funções contínuas são contínuos. Se g e h são contínuas e h não se anula em torno de um ponto, então a razão g/h é contínua naquele ponto. Aqui o numerador y(x-1)^{2} e o denominador (x-1)^{4}+y^{2} são polinômios em x,y, logo contínuos em todo \mathbb{R}^2.
Para (a,b)\neq(1,0) a chave é que o denominador não é zero:
(x-1)^{4}+y^{2}>0\quad\text{para todo }(x,y)\neq(1,0),
pois soma de quadrados só pode ser zero em (x-1)=0 e y=0 simultaneamente, isto é, em (1,0) apenas. Assim, no ponto (a,b)\neq(1,0) temos denominador estritamente positivo num entorno do ponto. Pelo teorema da razão de funções contínuas, f é contínua em qualquer (a,b) com (a,b)\neq(1,0).
Comentário prático: na prova, basta apontar que a expressão é uma razão de polinômios e que o denominador não se anula no ponto considerado; isso garante continuidade.

Passo 4

Agora verificar a continuidade em (1,0). Lembrete da definição de continuidade em \mathbb{R}^2 num ponto P: f é contínua em P se e somente se
\lim_{(x,y)\to P} f(x,y) = f(P).
No nosso caso P=(1,0) e f(1,0)=1. Então precisaríamos ter
\lim_{(x,y)\to(1,0)} f(x,y)=1.
Vou investigar esse limite usando a forma simplificada
f(x,y)=\frac{y(x-1)^{2}}{(x-1)^{4}+y^{2}}.

Passo 5

Teste de limites por caminhos diferentes (explicação didática). Uma maneira prática de mostrar que um limite em \mathbb{R}^2 não existe é encontrar duas curvas que se aproximam do ponto e dão limites diferentes.
Primeiro caminho simples: aproximar por pontos com y=0 (e x\to1). Para y=0 e x\neq1 temos
f(x,0)=\frac{0\cdot (x-1)^{2}}{(x-1)^{4}+0}=0.
Logo, ao aproximar (x,y)\to(1,0) ao longo do eixo x (i.e. y=0), o valor de f(x,y) tende para 0. Portanto
\lim_{(x,y)\to(1,0)\atop y=0} f(x,y)=0.
Mas f(1,0)=1. Como o limite ao longo dessa direção é 0\neq1, já se conclui que f não é contínua em (1,0): a condição \lim_{(x,y)\to(1,0)} f(x,y)=f(1,0) falha.

Passo 6

Para reforçar a ideia (e ensinar outra técnica), considere um segundo tipo de caminho: definir y=m(x-1)^{2} com constante m\in\mathbb{R} e fazer x\to1. Substituindo y=m(x-1)^{2} na expressão simplificada,
f(x,m(x-1)^{2})=\frac{m(x-1)^{4}}{(x-1)^{4}+m^{2}(x-1)^{4}} =\frac{m}{1+m^{2}}.
Assim, ao aproximar por curvas y=m(x-1)^{2} obtemos limites diferentes dependendo de m: o limite é \dfrac{m}{1+m^{2}}. Por exemplo, para m=0 (o caso anterior) obtemos 0; para m=1 obtemos \tfrac{1}{2}; para m\to\infty o valor tende a 0 de novo, etc. Como há caminhos que produzem valores distintos, o limite \lim_{(x,y)\to(1,0)} f(x,y) não existe. Em particular não existe limite igual a 1, então f não é contínua em (1,0).

Resposta

Sim: f é contínua em qualquer ponto (a,b) com (a,b)\neq(1,0).
Não: f não é contínua em (1,0).

Exercícios relacionados