Seja f(x, y) a função definida por f(x, y)=\frac{x^{4} y+y^{5}}{x^{4}+2 x^{2} y^{2}+y^{4}} para (x, y) \neq(0,0) e f(0,0)=0. Mostre que \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y) existe e o determine. A função f(x, y) é contínua na origem?
Mostrar que \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) existe e determinar esse limite.
Dizer se f é contínua na origem (isto é, se o valor da função em (0,0) coincide com o limite).
Informações relevantes dadas pelo enunciado que vamos usar:
A expressão de f(x,y) para (x,y)\neq(0,0): numerador x^{4}y+y^{5} e denominador x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}.
O valor definido em (0,0) é f(0,0)=0.]
Passo 2
Fazer uma simplificação algébrica útil. Observa-se que o denominador é um quadrado perfeito e o numerador tem fator comum y. Escrevemos isso explicitamente:
Agora aplicamos o princípio do aperto (squeeze theorem). Quando (x,y)\to(0,0) tem-se |y|\to 0. Para ver isso, note que |y|\le \sqrt{x^{2}+y^{2}} e \sqrt{x^{2}+y^{2}}\to 0 quando (x,y)\to(0,0). Assim, pela desigualdade do passo anterior,
0\le \left|f(x,y)\right|\le |y|\to 0.
Pelo teorema do aperto segue que \left|f(x,y)\right|\to 0, ou seja,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.
Passo 6
Verificação da continuidade na origem. A função f foi definida em (0,0) por f(0,0)=0. Como o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) é 0 (Passo 5), o limite coincide com o valor da função na origem. Pela definição de continuidade, f é contínua em (0,0).