Seja f(x, y) a função definida por f(x, y)=\frac{x^{4} y+y^{5}}{x^{4}+2 x^{2} y^{2}+y^{4}} para (x, y) \neq(0,0) e f(0,0)=0. Mostre que \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y) existe e o determine. A função f(x, y) é contínua na origem?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x^{4}y+y^{5}}{x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0). \end{cases}
As perguntas são:
  • Mostrar que \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) existe e determinar esse limite.
  • Dizer se f é contínua na origem (isto é, se o valor da função em (0,0) coincide com o limite).
Informações relevantes dadas pelo enunciado que vamos usar:
  • A expressão de f(x,y) para (x,y)\neq(0,0): numerador x^{4}y+y^{5} e denominador x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}.
  • O valor definido em (0,0) é f(0,0)=0.]

Passo 2

Fazer uma simplificação algébrica útil. Observa-se que o denominador é um quadrado perfeito e o numerador tem fator comum y. Escrevemos isso explicitamente:
x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}=(x^{2}+y^{2})^{2}, \qquad x^{4}y+y^{5}=y\,(x^{4}+y^{4}).
Portanto, para (x,y)\neq(0,0) podemos reescrever f como
f(x,y)=\dfrac{y\,(x^{4}+y^{4})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 3

Queremos comparar (x^{4}+y^{4}) com (x^{2}+y^{2})^{2}. Calcule a diferença:
(x^{2}+y^{2})^{2}-(x^{4}+y^{4})=2x^{2}y^{2}\ge 0.
Isto mostra que
x^{4}+y^{4}\le (x^{2}+y^{2})^{2}
para todo (x,y). Essa desigualdade é elementar e importante: o numerador (sem o fator y) é no máximo o denominador.

Passo 4

Usando a desigualdade do passo anterior obtém-se um controle absoluto de f. Para (x,y)\neq(0,0),
\left|f(x,y)\right| = \left|\dfrac{y\,(x^{4}+y^{4})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\right| = |y|\cdot \dfrac{x^{4}+y^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} \le |y|\cdot 1 = |y|.
Portanto, sempre vale a estimativa
0\le \left|f(x,y)\right|\le |y|.

Passo 5

Agora aplicamos o princípio do aperto (squeeze theorem). Quando (x,y)\to(0,0) tem-se |y|\to 0. Para ver isso, note que |y|\le \sqrt{x^{2}+y^{2}} e \sqrt{x^{2}+y^{2}}\to 0 quando (x,y)\to(0,0). Assim, pela desigualdade do passo anterior,
0\le \left|f(x,y)\right|\le |y|\to 0.
Pelo teorema do aperto segue que \left|f(x,y)\right|\to 0, ou seja,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.

Passo 6

Verificação da continuidade na origem. A função f foi definida em (0,0) por f(0,0)=0. Como o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) é 0 (Passo 5), o limite coincide com o valor da função na origem. Pela definição de continuidade, f é contínua em (0,0).

Resposta

\displaystyle 0
Sim, f é contínua na origem.

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