Seja
uma função diferenciável tal que
,
e
. Se
, então quanto vale
?
Passo 1
O que o problema pede: calcular
, a derivada parcial de
em relação a
no ponto
.
Informações dadas:
-
é diferenciável. -
. -
. -
. -
. -
. -
. - A função composta é
.
Passo 2
Estratégia geral (sem calcular ainda): introduzimos funções intermediárias para aplicar a regra da cadeia com calma. Seja
e
Então
Vamos primeiro achar uma expressão para
usando a regra da cadeia para funções de duas variáveis, e depois usar a derivada da potência para obter
.
Passo 3
Derivada da potência (regra do produto-escala simples): se
, então aplicando a derivada em relação a
obtemos
Explicação rápida: é a regra de derivação de
que é
, onde
.
Passo 4
Agora precisamos de
para usar na fórmula acima. Lembrando que
com
e
. A regra da cadeia para funções de duas variáveis diz:
Aqui
é a derivada parcial de
em relação à primeira variável avaliada em
e
é em relação à segunda variável.
Passo 5
Como
e
, temos
e
Substituindo na expressão de
obtemos
Explicação: as duas parcelas aparecem porque a mesma função
entra nas duas coordenadas da função externa
.
Passo 6
Vamos avaliar as quantidades no ponto
. Primeiro o valor de
:
Pelo dado
e
, segue
Passo 7
Agora avaliamos
pela fórmula do Passo 5. Precisamos de
,
e
.
- Como
, então (dado). - E
(dado). - Também
(dado).
Substituindo:
Passo 8
Finalmente usamos a fórmula do Passo 3 para obter
: