Seja f(x, y) uma função diferenciável tal que f(0,0)=1, f(1,1)=1, f_{x}(0,0)=2, f_{x}(1,1)=-1, f_{y}(0,0)=3 e f_{y}(1,1)=4. Se g(x, y)=[f(f(x, y), f(x, y))]^{2}, então quanto vale g_{x}(0,0) ?

Passo 1

O que o problema pede: calcular g_{x}(0,0), a derivada parcial de g em relação a x no ponto (0,0).
Informações dadas:
  • f é diferenciável.
  • f(0,0)=1.
  • f(1,1)=1.
  • f_{x}(0,0)=2.
  • f_{x}(1,1)=-1.
  • f_{y}(0,0)=3.
  • f_{y}(1,1)=4.
  • A função composta é g(x,y)=[f(f(x,y),f(x,y))]^{2}.

Passo 2

Estratégia geral (sem calcular ainda): introduzimos funções intermediárias para aplicar a regra da cadeia com calma. Seja
h(x,y)=f(x,y)
e
u(x,y)=f\big(h(x,y),\,h(x,y)\big).
Então
g(x,y)=\big(u(x,y)\big)^{2}.
Vamos primeiro achar uma expressão para u_{x} usando a regra da cadeia para funções de duas variáveis, e depois usar a derivada da potência para obter g_{x}.

Passo 3

Derivada da potência (regra do produto-escala simples): se g(x,y)=\big(u(x,y)\big)^{2}, então aplicando a derivada em relação a x obtemos
g_{x}(x,y)=2\,u(x,y)\,u_{x}(x,y).
Explicação rápida: é a regra de derivação de w^2 que é 2w\cdot w', onde w=u(x,y).

Passo 4

Agora precisamos de u_{x}(x,y) para usar na fórmula acima. Lembrando que u(x,y)=f(a(x,y),b(x,y)) com a(x,y)=h(x,y) e b(x,y)=h(x,y). A regra da cadeia para funções de duas variáveis diz:
u_{x}(x,y)=f_{x}\big(a(x,y),b(x,y)\big)\,a_{x}(x,y)+f_{y}\big(a(x,y),b(x,y)\big)\,b_{x}(x,y).
Aqui f_{x} é a derivada parcial de f em relação à primeira variável avaliada em (a,b) e f_{y} é em relação à segunda variável.

Passo 5

Como a(x,y)=h(x,y)=f(x,y) e b(x,y)=h(x,y)=f(x,y), temos
a_{x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)=f_{x}(x,y)
e
b_{x}(x,y)=f_{x}(x,y).
Substituindo na expressão de u_{x} obtemos
u_{x}(x,y)=\big(f_{x}\big(h(x,y),h(x,y)\big)+f_{y}\big(h(x,y),h(x,y)\big)\big)\,f_{x}(x,y).
Explicação: as duas parcelas aparecem porque a mesma função h entra nas duas coordenadas da função externa f.

Passo 6

Vamos avaliar as quantidades no ponto (0,0). Primeiro o valor de u(0,0):
u(0,0)=f\big(h(0,0),h(0,0)\big)=f\big(f(0,0),f(0,0)\big).
Pelo dado f(0,0)=1 e f(1,1)=1, segue
u(0,0)=f(1,1)=1.

Passo 7

Agora avaliamos u_{x}(0,0) pela fórmula do Passo 5. Precisamos de f_{x}\big(h(0,0),h(0,0)\big), f_{y}\big(h(0,0),h(0,0)\big) e f_{x}(0,0).
  • Como h(0,0)=f(0,0)=1, então f_{x}\big(h(0,0),h(0,0)\big)=f_{x}(1,1)=-1 (dado).
  • E f_{y}\big(h(0,0),h(0,0)\big)=f_{y}(1,1)=4 (dado).
  • Também f_{x}(0,0)=2 (dado).
Substituindo:
u_{x}(0,0)=\big(f_{x}(1,1)+f_{y}(1,1)\big)\,f_{x}(0,0)=(-1+4)\cdot 2=3\cdot 2=6.

Passo 8

Finalmente usamos a fórmula do Passo 3 para obter g_{x}(0,0):
g_{x}(0,0)=2\,u(0,0)\,u_{x}(0,0)=2\cdot 1\cdot 6=12.

Resposta

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