Seja f(x, y) uma função diferenciável tal que f(0,0)=1, f(1,1)=1, f_{x}(0,0)=2, f_{x}(1,1)=-1, f_{y}(0,0)=3 e f_{y}(1,1)=4. Se g(x, y)=[f(f(x, y), f(x, y))]^{2}, então quanto vale g_{x}(0,0) ?

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a derivada parcial g_{x}(0,0) da função
g(x,y) = \bigl[f\bigl(f(x,y),\,f(x,y)\bigr)\bigr]^{2}.
As informações dadas no enunciado são:
f(0,0)=1,\quad f(1,1)=1,
f_{x}(0,0)=2,\quad f_{x}(1,1)=-1,
f_{y}(0,0)=3,\quad f_{y}(1,1)=4.
Não resolvemos nada ainda; apenas listamos o que foi pedido e os dados fornecidos.

Passo 2

Vamos entender quais regras de cálculo vamos usar (aulas rápidas sobre o que precisamos).
Quando temos uma composição de funções de várias variáveis do tipo
h(x,y)=f\bigl(u(x,y),\,v(x,y)\bigr),
a regra da cadeia para derivadas parciais diz que a derivada parcial de h em relação a x é
h_{x}(x,y)=f_{x}\bigl(u(x,y),v(x,y)\bigr)\,u_{x}(x,y) +f_{y}\bigl(u(x,y),v(x,y)\bigr)\,v_{x}(x,y).
Explicando cada símbolo:
  • f_{x} e f_{y} são as derivadas parciais de f em relação à primeira e à segunda variável, respectivamente; quando escrevemos f_{x}\bigl(u(x,y),v(x,y)\bigr) isso significa que avaliamos essas derivadas no ponto (u(x,y),v(x,y)).
  • u_{x}(x,y) e v_{x}(x,y) são as derivadas parciais de u e v em relação a x.
    A ideia é: a variação de h quando x muda é a soma das contribuições pela variação das duas entradas de f.
Também usaremos a regra da cadeia combinada com a regra do produto/potência: se
g(x,y)=\bigl[h(x,y)\bigr]^{2},
então
g_{x}(x,y)=2\,h(x,y)\,h_{x}(x,y).
Isto é simplesmente a derivada da função quadrado aplicada a uma função h(x,y).

Passo 3

Aplicando essas ideias ao nosso problema: defina
h(x,y)=f\bigl(f(x,y),\,f(x,y)\bigr).
Aqui as duas entradas de f são iguais: u(x,y)=f(x,y) e v(x,y)=f(x,y). Usando a fórmula do passo anterior,
h_{x}(x,y)=f_{x}\bigl(f(x,y),f(x,y)\bigr)\cdot f_{x}(x,y) +f_{y}\bigl(f(x,y),f(x,y)\bigr)\cdot f_{x}(x,y).
Como os dois somandos têm o mesmo fator f_{x}(x,y), podemos fatorar:
h_{x}(x,y)=\bigl(f_{x}\bigl(f(x,y),f(x,y)\bigr)+f_{y}\bigl(f(x,y),f(x,y)\bigr)\bigr)\,f_{x}(x,y).
Essa é a expressão geral para h_{x}.

Passo 4

Agora relacionamos g e h. Lembrando que
g(x,y)=\bigl[h(x,y)\bigr]^{2},
temos, pela regra da potência + cadeia,
g_{x}(x,y)=2\,h(x,y)\,h_{x}(x,y).
Substituindo a expressão de h_{x} do passo anterior:
g_{x}(x,y)=2\,f\bigl(f(x,y),f(x,y)\bigr)\, \bigl(f_{x}\bigl(f(x,y),f(x,y)\bigr)+f_{y}\bigl(f(x,y),f(x,y)\bigr)\bigr)\,f_{x}(x,y).

Passo 5

Agora avaliamos tudo em (x,y)=(0,0). Primeiro, observe que f(0,0)=1 (dado), então ao avaliar as derivadas parciais de f que aparecem como f_{x}\bigl(f(0,0),f(0,0)\bigr) e f_{y}\bigl(f(0,0),f(0,0)\bigr) estamos avaliando em (1,1). Portanto usamos os valores em (1,1) fornecidos:
f\bigl(f(0,0),f(0,0)\bigr)=f(1,1)=1,
f_{x}\bigl(f(0,0),f(0,0)\bigr)=f_{x}(1,1)=-1,
f_{y}\bigl(f(0,0),f(0,0)\bigr)=f_{y}(1,1)=4.
Além disso, o fator f_{x}(x,y) que aparece multiplicando tudo deve ser avaliado em (0,0), e temos f_{x}(0,0)=2 (dado).

Passo 6

Substituímos os números na expressão de g_{x}(0,0):
g_{x}(0,0)=2\cdot f\bigl(f(0,0),f(0,0)\bigr)\cdot\bigl(f_{x}\bigl(f(0,0),f(0,0)\bigr)+f_{y}\bigl(f(0,0),f(0,0)\bigr)\bigr)\cdot f_{x}(0,0).
Usando os valores encontrados:
g_{x}(0,0)=2\cdot 1\cdot\bigl(-1+4\bigr)\cdot 2.
Calcule passo a passo:
-1+4=3,
2\cdot 1\cdot 3\cdot 2 = 2\cdot 3\cdot 2 = 12.

Resposta

12

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