Seja
uma função diferenciável tal que
,
e
. Se
, então quanto vale
?
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a derivada parcial
da função
As informações dadas no enunciado são:
Não resolvemos nada ainda; apenas listamos o que foi pedido e os dados fornecidos.
Passo 2
Vamos entender quais regras de cálculo vamos usar (aulas rápidas sobre o que precisamos).
Quando temos uma composição de funções de várias variáveis do tipo
Quando temos uma composição de funções de várias variáveis do tipo
a regra da cadeia para derivadas parciais diz que a derivada parcial de
em relação a
é
Explicando cada símbolo:
-
e são as derivadas parciais de em relação à primeira e à segunda variável, respectivamente; quando escrevemos isso significa que avaliamos essas derivadas no ponto . -
e são as derivadas parciais de e em relação a .
A ideia é: a variação dequando muda é a soma das contribuições pela variação das duas entradas de .
Também usaremos a regra da cadeia combinada com a regra do produto/potência: se
então
Isto é simplesmente a derivada da função quadrado aplicada a uma função
.
Passo 3
Aplicando essas ideias ao nosso problema: defina
Aqui as duas entradas de
são iguais:
e
. Usando a fórmula do passo anterior,
Como os dois somandos têm o mesmo fator
, podemos fatorar:
Essa é a expressão geral para
.
Passo 4
Agora relacionamos
e
. Lembrando que
temos, pela regra da potência + cadeia,
Substituindo a expressão de
do passo anterior:
Passo 5
Agora avaliamos tudo em
. Primeiro, observe que
(dado), então ao avaliar as derivadas parciais de
que aparecem como
e
estamos avaliando em
. Portanto usamos os valores em
fornecidos:
Além disso, o fator
que aparece multiplicando tudo deve ser avaliado em
, e temos
(dado).
Passo 6
Substituímos os números na expressão de
:
Usando os valores encontrados:
Calcule passo a passo: