Suponha que
é uma função de classe
e
. Sabe-se que a curva de equação
, está contida no gráfico da função
.
(a) Calcule
.
(b) Ache uma equação para a reta tangente à curva
no ponto
.
(c) Mostre que a reta encontrada no item (b) está contida no plano tangente ao gráfico da função
em (
).
(a) Calcule
(b) Ache uma equação para a reta tangente à curva
(c) Mostre que a reta encontrada no item (b) está contida no plano tangente ao gráfico da função
Passo 1
O enunciado dá uma função
de classe
e fornece valores no ponto
:
Também é dada a curva
que está contida no gráfico de
. As perguntas são:
(a) Calcular .
(b) Achar uma equação para a reta tangente à curva no ponto
.
(c) Mostrar que essa reta está contida no plano tangente ao gráfico de em
.
(a) Calcular
(b) Achar uma equação para a reta tangente à curva
(c) Mostrar que essa reta está contida no plano tangente ao gráfico de
Passo 2
Interpretação do fato “a curva está contida no gráfico”: para cada
temos que o ponto
satisfaz
. Portanto, imediatamente obtemos a expressão funcional
Isto responde a primeira parte de (a) no sentido de expressar
em função de
e das componentes da curva.
Passo 3
Vamos agora explicar e aplicar a regra da cadeia para obter a derivada
. A regra da cadeia (para funções de várias variáveis) diz o seguinte: se
com
de classe
, então
Aqui
e
são as derivadas parciais de
, e
são as derivadas das componentes da curva. No nosso caso
e
, logo
Substituindo na regra da cadeia obtemos a fórmula geral
Não podemos simplificar mais essa expressão para todo
sem conhecer
globalmente, mas podemos avaliar em
usando os dados do enunciado:
e
. Assim
Também da expressão de
em
temos
.
Passo 4
Para encontrar a reta tangente precisamos do vetor velocidade (derivada) da curva
. Derivando componente a componente:
Avaliado em
dá
Esse vetor é a direção da reta tangente em
.
Passo 5
Equação da reta tangente em
. O ponto
é
Tomando parâmetro
para a reta e usando vetor direção
, a forma paramétrica da reta é
Isto é, em coordenadas:
Uma forma simétrica (eliminando
) é
Passo 6
Equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
. A fórmula do plano tangente de uma função
num ponto
é a aproximação linear:
Aqui
. Substituindo os valores dados:
Podemos simplificar essa expressão:
Portanto o plano tangente tem equação
Passo 7
Verificação de que a reta tangente está contida no plano tangente. Pegamos um ponto genérico da reta paramétrica
:
Substituímos na equação do plano
:
O lado direito resulta em
, que é exatamente a coordenada
do ponto na reta. Como isso vale para todo
, toda a reta
está contida no plano tangente. Assim o que se pede em (c) está mostrado.
Resposta
(a)
.
(b) , ou
.
(c) O plano tangente é ; a reta da parte (b) satisfaz essa equação para todo
, logo está contida no plano tangente.
(b)
(c) O plano tangente é