Suponha que z=f(x, y) é uma função de classe C^{1}, f(1,3)=-1, \frac{\partial f}{\partial x}(1,3)=4 e \frac{\partial f}{\partial y}(1,3)=-2. Sabe-se que a curva de equação \sigma(t)=\left(t^{2}, 4 t-1, z(t)\right), t \in \mathbb{R}, está contida no gráfico da função z=f(x, y).
(a) Calcule z(t).
(b) Ache uma equação para a reta tangente à curva \sigma(t) no ponto \sigma(1).
(c) Mostre que a reta encontrada no item (b) está contida no plano tangente ao gráfico da função z=f(x, y) em ( 1,3,-1 ).

Passo 1

O enunciado dá uma função z=f(x,y) de classe C^{1} e fornece valores no ponto (1,3):
f(1,3)=-1,\quad \frac{\partial f}{\partial x}(1,3)=4,\quad \frac{\partial f}{\partial y}(1,3)=-2.
Também é dada a curva \sigma(t)=\big(t^{2},\,4t-1,\,z(t)\big) que está contida no gráfico de z=f(x,y). As perguntas são:
(a) Calcular z(t).
(b) Achar uma equação para a reta tangente à curva \sigma(t) no ponto \sigma(1).
(c) Mostrar que essa reta está contida no plano tangente ao gráfico de f em (1,3,-1).

Passo 2

Interpretação do fato “a curva está contida no gráfico”: para cada t temos que o ponto \big(x(t),y(t),z(t)\big)=\big(t^{2},4t-1,z(t)\big) satisfaz z(t)=f\big(x(t),y(t)\big). Portanto, imediatamente obtemos a expressão funcional
z(t)=f\big(t^{2},\,4t-1\big).
Isto responde a primeira parte de (a) no sentido de expressar z(t) em função de f e das componentes da curva.

Passo 3

Vamos agora explicar e aplicar a regra da cadeia para obter a derivada z'(t). A regra da cadeia (para funções de várias variáveis) diz o seguinte: se \;z(t)=f\big(x(t),y(t)\big)\; com f de classe C^{1}, então
z'(t)=\frac{\partial f}{\partial x}\big(x(t),y(t)\big)\cdot x'(t) +\frac{\partial f}{\partial y}\big(x(t),y(t)\big)\cdot y'(t).
Aqui \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} são as derivadas parciais de f, e x'(t),y'(t) são as derivadas das componentes da curva. No nosso caso x(t)=t^{2} e y(t)=4t-1, logo
x'(t)=2t,\qquad y'(t)=4.
Substituindo na regra da cadeia obtemos a fórmula geral
z'(t)=2t\cdot\frac{\partial f}{\partial x}\big(t^{2},4t-1\big)+4\cdot\frac{\partial f}{\partial y}\big(t^{2},4t-1\big).
Não podemos simplificar mais essa expressão para todo t sem conhecer f globalmente, mas podemos avaliar em t=1 usando os dados do enunciado: \frac{\partial f}{\partial x}(1,3)=4 e \frac{\partial f}{\partial y}(1,3)=-2. Assim
z'(1)=2\cdot 1\cdot 4 + 4\cdot(-2)=8-8=0.
Também da expressão de z(t) em t=1 temos z(1)=f(1,3)=-1.

Passo 4

Para encontrar a reta tangente precisamos do vetor velocidade (derivada) da curva \sigma(t). Derivando componente a componente:
\sigma'(t)=\big( (t^{2})',\; (4t-1)',\; z'(t)\big)=\big(2t,\;4,\;z'(t)\big).
Avaliado em t=1
\sigma'(1)=\big(2,\;4,\;z'(1)\big)=\big(2,\;4,\;0\big).
Esse vetor é a direção da reta tangente em \sigma(1).

Passo 5

Equação da reta tangente em \sigma(1). O ponto \sigma(1) é
\sigma(1)=\big(1^{2},\,4\cdot1-1,\,z(1)\big)=(1,3,-1).
Tomando parâmetro s\in\mathbb{R} para a reta e usando vetor direção \sigma'(1)=(2,4,0), a forma paramétrica da reta é
\ell(s)=\big(1,3,-1\big)+s\big(2,4,0\big).
Isto é, em coordenadas:
x=1+2s,\qquad y=3+4s,\qquad z=-1.
Uma forma simétrica (eliminando s) é
\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{4},\qquad z=-1.

Passo 6

Equação do plano tangente ao gráfico de z=f(x,y) no ponto (1,3,-1). A fórmula do plano tangente de uma função z=f(x,y) num ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) é a aproximação linear:
z=z_{0}+\frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})\,(x-x_{0}) +\frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})\,(y-y_{0}).
Aqui (x_{0},y_{0},z_{0})=(1,3,-1). Substituindo os valores dados:
z=-1+4(x-1)-2(y-3).
Podemos simplificar essa expressão:
z=-1+4x-4-2y+6=4x-2y+1.
Portanto o plano tangente tem equação
z=4x-2y+1.

Passo 7

Verificação de que a reta tangente está contida no plano tangente. Pegamos um ponto genérico da reta paramétrica \ell(s):
x=1+2s,\quad y=3+4s,\quad z=-1.
Substituímos na equação do plano z=4x-2y+1:
4x-2y+1=4(1+2s)-2(3+4s)+1=4+8s-6-8s+1=-1.
O lado direito resulta em -1, que é exatamente a coordenada z do ponto na reta. Como isso vale para todo s, toda a reta \ell está contida no plano tangente. Assim o que se pede em (c) está mostrado.

Resposta

(a) z(t)=f\big(t^{2},\,4t-1\big).
(b) \displaystyle \ell(s)=(x,y,z)=(1,3,-1)+s(2,4,0), ou x=1+2s,\;y=3+4s,\;z=-1.
(c) O plano tangente é \displaystyle z=4x-2y+1; a reta da parte (b) satisfaz essa equação para todo s, logo está contida no plano tangente.

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