Seja f(x, y) uma função homogênea de grau n. Mostre que x partial fpartial x+y partial fpartial y= n f (1,0)

Passo 1

Beleza! A gente tem que mostrar que, se $ f(x, y) $ é uma função homogênea de grau $ n $, então:
f(x, y)
Isso está relacionado ao conceito de funções homogêneas na matemática, que são funções que satisfazem uma determinada relação de proporcionalidade quando todos os seus argumentos são multiplicados por uma constante. Para resolver isso, vamos usar a definição de função homogênea e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser homogênea de grau $ n $. Isso quer dizer que, se a gente multiplica todas as variáveis de entrada por um número $ \lambda $, a função inteira é multiplicada por $ \lambda^n $. Matematicamente, isso é expresso como:
n
Essa é a definição chave que vamos usar para derivar a relação que precisamos provar.

Passo 3

Agora, para explorar essa definição, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a $ \lambda $. Isso significa que vamos calcular a derivada de $ f(\lambda x, \lambda y) $ e de $ \lambda^n f(x, y) $ com relação a $ \lambda $.
Primeiro, a derivada do lado esquerdo usando a regra da cadeia:
lambda
E a derivada do lado direito:
f(lambda x, lambda y)

Passo 4

Agora, igualamos as duas derivadas porque a função original é igual para todos $ \lambda $. Então:
lambda
Mas lembre-se que a igualdade vale para qualquer $ \lambda $, inclusive quando $ \lambda = 1 $. Então, substituindo $ \lambda = 1 $, temos:
partial fpartial x cdot x + partial fpartial y cdot y = n lambda^n-1 f(x, y)

Resposta

Portanto, mostramos que para uma função homogênea $ f(x, y) $ de grau $ n $:
f(x, y)

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