Seja
. Sobre
é correto afirmar que:
a) Existe e vale
b) Existe e vale (0, 1, 0)
c) Existe e vale (
)
d) Existe e vale
.
a) Existe e vale
b) Existe e vale (0, 1, 0)
c) Existe e vale (
d) Existe e vale
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite da função vetorial $ g(t) $ quando $ t $ se aproxima de $ \pi $. A função $ g(t) $ é composta por três componentes que envolvem funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites de funções trigonométricas e aplicar algumas propriedades básicas de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada componente da função $ g(t) $ separadamente:
Vamos calcular o limite de cada fração quando $ t $ se aproxima de $ \pi $:
Componente $ \vec{i} $: $ \frac{\sin (4 t)}{t} $
Sabemos que $ \sin(4\pi) = 0 $, então:
Componente $ \vec{j} $: $ \frac{\sin (9 t)}{\sin (6 t)} $
Aqui, tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero quando $ t \to \pi $ (porque $ \sin(9\pi) = 0 $ e $ \sin(6\pi) = 0 $). Para resolver esse tipo de limite, podemos usar a regra de L’Hôpital, que diz que se $ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} $, então:
Aplicando a regra de L’Hôpital:
Então:
Sabendo que $ \cos(9\pi) = \cos(\pi) = -1 $ e $ \cos(6\pi) = 1 $:
Componente $ \vec{k} $: $ \frac{\sin (3 t)}{\cos (6 t)} $
Calculando cada parte:
Então:
Resposta
A opção correta é a c) Existe e vale $ \left(0, -\frac{3}{2}, 0\right) $.