Determine os instantes em que a curva
admite concavidade para cima:
(3)
(3)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os instantes em que a curva paramétrica
C:
C:
é côncava para cima. O assunto envolve derivadas paramétricas e o uso da segunda derivada
para determinar concavidade.
Passo 2
Vamos calcular as primeiras derivadas:
Essas expressões vêm da regra cadeia: por exemplo,
Passo 3
Agora as segundas derivadas:
Usamos novamente a regra produto e cadeia para obter essas fórmulas.
Passo 4
Aplicamos a fórmula paramétrica da segunda derivada:
Substituindo e simplificando chegamos a
Passo 5
Para que a curva seja côncava para cima, precisamos de
. Como o denominador é
, o sinal depende de
(
). Logo, queremos
em intervalos onde
(para a curva ser suave). Isso dá
ou seja
Resposta
t \in (0,\tfrac{\pi}{2}) \cup (\tfrac{\pi}{2},\pi)