Determine os instantes em que a curva C admite concavidade para cima:
(3)
lx(t)=2 cos ^3 t y(t)=2 sen^3 t

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os instantes em que a curva paramétrica
C:
x(t)=2cos^3t, y(t)=2sin^3t, tin[0,2pi]
é côncava para cima. O assunto envolve derivadas paramétricas e o uso da segunda derivada d^2y/dx^2 para determinar concavidade.

Passo 2

Vamos calcular as primeiras derivadas:
x'(t)=dxdt=-6cos^2t,sin t,
y'(t)=dydt=6sin^2t,cos t
Essas expressões vêm da regra cadeia: por exemplo,
ddt(2cos^3t)=2cdot3cos^2tcdot(-sin t)=-6cos^2t,sin t

Passo 3

Agora as segundas derivadas:
x''(t)=d^2xdt^2=12cos t,sin^2t-6cos^3t,
y''(t)=d^2ydt^2=12sin t,cos^2t-6sin^3t
Usamos novamente a regra produto e cadeia para obter essas fórmulas.

Passo 4

Aplicamos a fórmula paramétrica da segunda derivada:
d^2ydx^2=y''(t),x'(t)-y'(t),x''(t)[x'(t)]^3
Substituindo e simplificando chegamos a
d^2ydx^2=16,sin t,cos^4t

Passo 5

Para que a curva seja côncava para cima, precisamos de
d^2y/dx^2>0. Como o denominador é 6,sin t,cos^4t, o sinal depende de sin t ( cos^4t>=0). Logo, queremos
sin t>0
em intervalos onde x'(t)neq0 (para a curva ser suave). Isso dá
tin(0,pi), tneqpi/2
ou seja
tin(0,tfracpi2)cup(tfracpi2,pi)

Resposta

t \in (0,\tfrac{\pi}{2}) \cup (\tfrac{\pi}{2},\pi)

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