Seja f(x, y) uma função homogênea de grau n. Mostre que:
x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}=n f

Passo 1

O enunciado diz que f(x,y) é homogênea de grau n, ou seja, para todo real t vale
f(t x,\,t y)=t^{n}f(x,y).
Para explorar essa definição, definimos a função de uma variável
g(t)=f\bigl(t x,\,t y\bigr).

Passo 2

Vamos calcular g'(t) usando a regra da cadeia. Como g(t)=f(u(t),v(t)) com u(t)=t x e v(t)=t y, temos
g'(t) =\frac{\partial f}{\partial x}(u(t),v(t))\cdot u'(t) +\frac{\partial f}{\partial y}(u(t),v(t))\cdot v'(t) = x\,\frac{\partial f}{\partial x}(t x,t y) + y\,\frac{\partial f}{\partial y}(t x,t y).

Passo 3

Por outro lado, da homogeneidade temos
g(t)=t^{n}f(x,y) \quad\Longrightarrow\quad g'(t)=n\,t^{n-1}f(x,y).

Passo 4

Basta avaliar ambas as expressões de g'(t) em t=1. De um lado,
g'(1)=x\,\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+y\,\frac{\partial f}{\partial y}(x,y),
e de outro,
g'(1)=n\cdot1^{\,n-1}f(x,y)=n\,f(x,y).
Portanto,
x\,\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+y\,\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =n\,f(x,y).

Resposta

x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}=n f.

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