Resolva os problemas de valor inicial.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
Isto é uma EDO de primeira ordem, não-linear, mas que é homogênea em
e
. Vamos usar a substituição
para transformar em variável separável.
Passo 2
Definimos
Além disso,
Substituindo na EDO original:
Passo 3
Isolando
:
Reescrevendo para separar variáveis:
Passo 4
O integrando no lado esquerdo separa-se em
Integramos termo a termo:
e para
fazemos a troca
,
o que dá diretamente .
Logo
o que dá diretamente
Logo
Passo 5
Voltando a
e
,
, temos
Substituindo na relação obtida:
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
. Em
,
:
logo
. A solução implícita final é