Resolva os problemas de valor inicial.
\left(x+\sqrt{y^{2}-x y}\right) \frac{d y}{d x}=y, y(1 / 2)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\bigl(x+\sqrt{y^{2}-x\,y}\bigr)\,\frac{dy}{dx}=y, \quad y\bigl(\tfrac12\bigr)=1.
Isto é uma EDO de primeira ordem, não-linear, mas que é homogênea em x e y. Vamos usar a substituição v=y/x para transformar em variável separável.

Passo 2

Definimos
v=\frac{y}{x} \quad\Longrightarrow\quad y=v\,x, \quad \frac{dy}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}.
Além disso,
\sqrt{y^{2}-x\,y} =\sqrt{x^{2}v^{2}-x^{2}v} =x\,\sqrt{v\,(v-1)}.
Substituindo na EDO original:
v + x\frac{dv}{dx} =\frac{y}{\,x+\sqrt{y^{2}-x\,y}\,} =\frac{v\,x}{\,x + x\sqrt{v(v-1)}\,} =\frac{v}{1+\sqrt{v(v-1)}}.

Passo 3

Isolando x\,dv/dx:
x\frac{dv}{dx} =\frac{v}{1+\sqrt{v(v-1)}}-v =-\frac{v\,\sqrt{v(v-1)}}{1+\sqrt{v(v-1)}}.
Reescrevendo para separar variáveis:
\frac{1+\sqrt{v(v-1)}}{v\,\sqrt{v(v-1)}}\,dv =-\frac{dx}{x}.

Passo 4

O integrando no lado esquerdo separa-se em
\frac{1+\sqrt{v(v-1)}}{v\,\sqrt{v(v-1)}} =\frac{1}{v\,\sqrt{v(v-1)}}+\frac{1}{v}.
Integramos termo a termo:
\int\frac{1}{v}\,dv=\ln|v|,
e para \displaystyle\int\frac{dv}{v\,\sqrt{v(v-1)}} fazemos a troca \displaystyle w=\sqrt{\frac{v-1}{v}},
o que dá diretamente \displaystyle\int\frac{dv}{v\,\sqrt{v(v-1)}}=2w=2\sqrt{\tfrac{v-1}{v}}.
Logo
\int\Bigl(\frac{1}{v\,\sqrt{v(v-1)}}+\frac{1}{v}\Bigr)dv =2\sqrt{\frac{v-1}{v}}+\ln|v| =-\ln|x|+C.

Passo 5

Voltando a y e x, v=y/x, temos
\ln|v|=\ln|y|-\ln|x|, \quad \sqrt{\frac{v-1}{v}}=\sqrt{\frac{y-x}{y}}.
Substituindo na relação obtida:
2\sqrt{\frac{y-x}{y}}+\bigl(\ln|y|-\ln|x|\bigr) =-\ln|x|+C \;\Longrightarrow\; 2\sqrt{\frac{y-x}{y}}+\ln|y|=C.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(\tfrac12)=1. Em x=\tfrac12, y=1:
2\sqrt{\frac{1-\tfrac12}{1}}+\ln1 =2\cdot\frac1{\sqrt2}+0 =\sqrt2,
logo C=\sqrt2. A solução implícita final é
2\sqrt{\frac{y-x}{y}}+\ln|y|=\sqrt2.

Resposta

2\sqrt{\frac{y-x}{y}}+\ln|y|=\sqrt2.

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