Seja f(x, y)=raiz[3]x^3+y^3.
(a) Determine partial fpartial x(x, y) e partial fpartial y(x, y) para (x, y) neq(0,0).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de f(x,y)= raiz[3]x^3+y^3 usando a regra da cadeia, pois f é composição de umapsto u^1/3 com u=x^3+y^3.

Passo 2

Definimos u=x^3+y^3. Então f(x,y)= u^1/3. Pela regra da cadeia, temos partial f/partial x=f'(u)cdotpartial u/partial x. Sabendo que f'(u)=tfrac13u^-2/3 e partial u/partial x=3x^2, obtemos

Passo 3

Para partial f/partial y fazemos análoga aplicação da regra da cadeia: partial f/partial y=f'(u)cdotpartial u/partial y, com partial u/partial y=3y^2, resultando

Resposta

partial fpartial x(x,y)=x^2,(x^3+y^3)^-2/3,partial fpartial y(x,y)=y^2,(x^3+y^3)^-2/3, para (x,y)neq(0,0).

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