Considere a função
(a) Determine o vetor gradiente
,
(a) Determine o vetor gradiente
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o vetor gradiente de uma função de três variáveis, ou seja, vamos usar derivadas parciais. O conteúdo aqui é derivada parcial e definição de gradiente, e vamos precisar aplicar regra da cadeia para a parte que envolve raiz.
Passo 2
Para $x$-derivar usamos que $,x$ aparece de forma linear em $f$. Logo,
Passo 3
Para $y$-derivar a parte $\sqrt{y2+z2}$, aplicamos regra da cadeia: derivada de $\sqrt{u}$ é $1/(2\sqrt{u}))$ multiplicada por derivada de $u=y2+z2$. Assim,
Passo 4
Para $z$-derivar fazemos análogo ao caso de $y$:
Passo 5
Reunindo as partes, o vetor gradiente
é composto pelas derivadas parciais em cada direção.
Resposta
[\n \nabla f(x,y,z) = \left(1, \dfrac{y}{\sqrt{y2+z2}}, \dfrac{z}{\sqrt{y2+z2}}\right)
]
]