Considere a função f(x, y, z)=x+raizy^2+z^2
(a) Determine o vetor gradiente nabla f(x, y, z),

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o vetor gradiente de uma função de três variáveis, ou seja, vamos usar derivadas parciais. O conteúdo aqui é derivada parcial e definição de gradiente, e vamos precisar aplicar regra da cadeia para a parte que envolve raiz.

Passo 2

Para $x$-derivar usamos que $,x$ aparece de forma linear em $f$. Logo,
x

Passo 3

Para $y$-derivar a parte $\sqrt{y2+z2}$, aplicamos regra da cadeia: derivada de $\sqrt{u}$ é $1/(2\sqrt{u}))$ multiplicada por derivada de $u=y2+z2$. Assim,
y

Passo 4

Para $z$-derivar fazemos análogo ao caso de $y$:
z

Passo 5

Reunindo as partes, o vetor gradiente é composto pelas derivadas parciais em cada direção.

Resposta

[\n \nabla f(x,y,z) = \left(1, \dfrac{y}{\sqrt{y2+z2}}, \dfrac{z}{\sqrt{y2+z2}}\right)
]

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