Resolva as equações abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e segundo membro não homogêneo
Temos a ODE
Temos a ODE
Aqui o conteúdo é “equações diferenciais lineares de 2ª ordem” e vamos precisar resolver primeiro a parte homogênea e depois usar variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a equação homogênea associada
O polinômio característico é
Logo, a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para achar uma solução particular usamos o método de variação dos parâmetros. As duas soluções fundamentais da homogênea são
O Wronskiano é
As fórmulas para as derivadas dos parâmetros são
onde
.
Passo 4
Substituindo em
e
:
Integrando:
Passo 5
A solução particular é
Logo, a solução geral da equação completa fica
Resposta
y(x) = C_1e^{3x} + C_2 x e^{3x} - e^{3x}\ln|x| - e^{3x}