Resolva as equações abaixo.
y^prime prime-6 y^prime+9 y=e^3 xx^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e segundo membro não homogêneo
Temos a ODE
y'' - 6y' + 9y = e^3xx^2
Aqui o conteúdo é “equações diferenciais lineares de 2ª ordem” e vamos precisar resolver primeiro a parte homogênea e depois usar variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a equação homogênea associada
y'' - 6y' + 9y = 0
O polinômio característico é
r^2 - 6r + 9 = 0 implies (r - 3)^2 = 0
Logo, a solução geral da homogênea é
yc(x) = (C1 + C2 x)e^3x

Passo 3

Para achar uma solução particular usamos o método de variação dos parâmetros. As duas soluções fundamentais da homogênea são
y1 = e^3x, y2 = x e^3x
O Wronskiano é
W = y1y2' - y2y1' = e^3xcdot e^3x(1+3x) - x e^3xcdot 3e^3x = e^6x
As fórmulas para as derivadas dos parâmetros são
u1' = -f(x),y2W, nu2' = f(x),y1W,
onde f(x)=e^3xx^2.

Passo 4

Substituindo em nu1' e nu2':
nu1' = -(e^3x/x^2)cdot (x e^3x)e^6x = -1x,
nu2' = (e^3x/x^2)cdot e^3xe^6x = 1x^2
Integrando:
nu1(x) = -integral 1x,dx = -ln|x|, nu2(x) = integral 1x^2,dx = -1x

Passo 5

A solução particular é
yp = nu1 y1 + nu2 y2 = -e^3xln|x| - e^3x
Logo, a solução geral da equação completa fica
y(x) = yc(x) + yp(x) = C1e^3x + C2 x e^3x - e^3xln|x| - e^3x

Resposta

y(x) = C_1e^{3x} + C_2 x e^{3x} - e^{3x}\ln|x| - e^{3x}

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