Seja f(x, y)=raiz[3]x^3+y^3.
© A função f é diferenciável em (0,0) ? Por quê?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função f(x,y)=raiz[3]x^3+y^3 é diferenciável em (0,0). O conteúdo aqui é diferenciabilidade de funções de duas variáveis e vamos usar a definição: existe um mapa linear L(h,k)=Ah+Bk tal que o resto r(h,k)=f(0+h,0+k)-f(0,0)-L(h,k) satisfaz r(h,k)/raizh^2+k^2to0 quando (h,k)to(0,0).

Passo 2

Primeiro, calculo as derivadas parciais em (0,0) usando a definição:
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h=limhto0raiz[3]h^3+0-0h=limhto0hh=1,
fy(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k=limkto0raiz[3]0+k^3-0k=limkto0kk=1

Passo 3

Assim, o candidato a aproximação linear é L(h,k)=1cdot h+1cdot k=h+k
Agora aplico a condição de diferenciabilidade: preciso ver se
r(h,k)=f(h,k)-l(f(0,0)+L(h,k)r)=raiz[3]h^3+k^3-(h+k)
é o(raizh^2+k^2). Para isso, escolho a reta y=x, i.e. k=h. Então
f(h,h)=raiz[3]2h^3=2^1/3h, L(h,h)=h+h=2h,
e o erro fica
r(h,h)=2^1/3h-2h=hl(2^1/3-2r)
A norma do vetor (h,h) é raizh^2+h^2=|h|raiz2, então
r(h,h)raizh^2+h^2=h(2^1/3-2)raiz2,|h|=2^1/3-2raiz2,

Passo 4

que é uma constante não nula. Logo esse quociente não tende a zero, ou seja, o resto não é o(raizh^2+k^2).

Resposta

Não, a função não é diferenciável em (0,0), pois o termo de erro na aproximação linear não é negligenciável em relação à distância ao ponto.

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