Seja
.
© A função
é diferenciável em
? Por quê?
© A função
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é diferenciável em
. O conteúdo aqui é diferenciabilidade de funções de duas variáveis e vamos usar a definição: existe um mapa linear
tal que o resto
satisfaz
quando
.
Passo 2
Primeiro, calculo as derivadas parciais em
usando a definição:
Passo 3
Assim, o candidato a aproximação linear é
Agora aplico a condição de diferenciabilidade: preciso ver se
Agora aplico a condição de diferenciabilidade: preciso ver se
é
e o erro fica
A norma do vetor
Passo 4
que é uma constante não nula. Logo esse quociente não tende a zero, ou seja, o resto não é
.
Resposta
Não, a função não é diferenciável em (0,0), pois o termo de erro na aproximação linear não é negligenciável em relação à distância ao ponto.