Seja
. Determine
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede dois valores num ponto específico:
- Determinar
. - Determinar
.
As informações relevantes são exatamente a expressão de
e o ponto
.
Passo 2
O que é uma derivada parcial (explicação didática)?
- A derivada parcial de
em relação a num ponto mede a taxa de variação de quando apenas muda e fica fixo em . - Formalmente,
- Analogamente, a derivada parcial em relação a
é
ou seja, varia-se
e mantém-se
fixo.
- Intuição prática: para calcular uma derivada parcial basta tratar a outra variável como constante e diferenciar como se fosse uma função de uma variável só.
Passo 3
Vamos calcular
aplicando a regra “tratar
como constante”.
- A função é
. - Diferenciando termo a termo em relação a
: -
porque constante não varia. -
pela regra da potência ( , com sinal negativo aqui). -
porque é tratado como constante (portanto é constante em ).
-
- Somando os resultados,
Passo 4
Agora avaliamos em
:
Interpretação rápida: se
aumenta um pouquinho (mantendo
),
diminui aproximadamente
vezes esse aumento.
Passo 5
Agora calculamos
, tratando
como constante.
- Diferenciando termo a termo em relação a
: -
. -
porque é constante agora. -
pela regra da potência multiplicada pela constante (ou seja, ).
-
- Logo,
Passo 6
Avaliando em
:
Interpretação: se
aumenta um pouco (com
fixo),
diminui aproximadamente
vezes esse aumento.