Seja f(x, y)=4-x^{2}-2 y^{2}. Determine \frac{\partial f}{\partial x}(1,1) e \frac{\partial f}{\partial y}(1,1).

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y)=4-x^{2}-2y^{2} e pede dois valores num ponto específico:
  • Determinar \dfrac{\partial f}{\partial x}(1,1).
  • Determinar \dfrac{\partial f}{\partial y}(1,1).
As informações relevantes são exatamente a expressão de f e o ponto (1,1).

Passo 2

O que é uma derivada parcial (explicação didática)?
  • A derivada parcial de f em relação a x num ponto (a,b) mede a taxa de variação de f quando apenas x muda e y fica fixo em b.
  • Formalmente,
\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}.
  • Analogamente, a derivada parcial em relação a y é
\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a,b+h)-f(a,b)}{h},
ou seja, varia-se y e mantém-se x fixo.
  • Intuição prática: para calcular uma derivada parcial basta tratar a outra variável como constante e diferenciar como se fosse uma função de uma variável só.

Passo 3

Vamos calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) aplicando a regra “tratar y como constante”.
  • A função é f(x,y)=4-x^{2}-2y^{2}.
  • Diferenciando termo a termo em relação a x:
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(4)=0 porque constante não varia.
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(-x^{2})=-2x pela regra da potência ( \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x, com sinal negativo aqui).
    • \dfrac{\partial}{\partial x}(-2y^{2})=0 porque y é tratado como constante (portanto -2y^{2} é constante em x).
  • Somando os resultados,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=-2x.

Passo 4

Agora avaliamos em (1,1):
\frac{\partial f}{\partial x}(1,1) = -2\cdot 1 = -2.
Interpretação rápida: se x aumenta um pouquinho (mantendo y=1), f diminui aproximadamente 2 vezes esse aumento.

Passo 5

Agora calculamos \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y), tratando x como constante.
  • Diferenciando termo a termo em relação a y:
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(4)=0.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(-x^{2})=0 porque x é constante agora.
    • \dfrac{\partial}{\partial y}(-2y^{2})=-4y pela regra da potência multiplicada pela constante -2 (ou seja, -2)\cdot 2y = -4y).
  • Logo,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-4y.

Passo 6

Avaliando em (1,1):
\frac{\partial f}{\partial y}(1,1) = -4\cdot 1 = -4.
Interpretação: se y aumenta um pouco (com x=1 fixo), f diminui aproximadamente 4 vezes esse aumento.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}(1,1)=-2
\dfrac{\partial f}{\partial y}(1,1)=-4

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