Determine as derivadas parciais das funções abaixo.
f(x, y, z)=x z-3 y^{2} x z+4 x y z

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=x z-3 y^{2} x z+4 x y z
e pede para determinar as derivadas parciais. Ou seja, calcular:
  • \dfrac{\partial f}{\partial x},
  • \dfrac{\partial f}{\partial y},
  • \dfrac{\partial f}{\partial z}.
As informações relevantes que temos: a expressão algébrica de f (cada termo é um monômio em x,y,z). Nada mais é fornecido.

Passo 2

Conceito e ferramentas que vamos usar (explicação didática e simples).
  • A derivada parcial de f em relação a uma variável (por exemplo x) é a taxa de variação de f quando apenas x varia e as demais variáveis ficam fixas. Ou seja, ao calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} tratamos y e z como constantes.
  • Regras básicas usadas aqui:
    • Derivada de soma é soma das derivadas (linearidade).
    • Se uma expressão é a\cdot x^n com a constante, a derivada em relação a x é a\cdot n x^{n-1} (regra da potência). No nosso caso os termos são monômios do tipo constante \times produto de variáveis; ao derivar em relação a uma variável, as outras aparecem como constantes multiplicativas.
    • Derivada de y^2 em relação a y é 2y. Em geral, ao derivar em relação a y aplicamos a regra da potência mantendo fatores que não dependem de y como constantes.
Vamos aplicar isso termo a termo na função.

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}.
Trata-se de derivar cada termo em relação a x, mantendo y e z constantes.
O termo a termo:
  • Derivada de x z em relação a x: como z é constante, \dfrac{\partial}{\partial x}(x z)=z.
  • Derivada de -3 y^{2} x z em relação a x: y^{2}z é constante, então \dfrac{\partial}{\partial x}(-3 y^{2} x z)=-3 y^{2} z.
  • Derivada de 4 x y z em relação a x: 4 y z é constante, então \dfrac{\partial}{\partial x}(4 x y z)=4 y z.
Somando:
\dfrac{\partial f}{\partial x}=z-3 y^{2} z+4 y z.
Podemos fatorar z:
\dfrac{\partial f}{\partial x}=z\bigl(1-3 y^{2}+4 y\bigr).

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Agora derivamos em relação a y, tratando x e z como constantes.
O termo a termo:
  • Derivada de x z em relação a y: como não depende de y, \dfrac{\partial}{\partial y}(x z)=0.
  • Derivada de -3 y^{2} x z em relação a y: x z é constante; derivada de -3 y^{2} é -6 y. Assim \dfrac{\partial}{\partial y}(-3 y^{2} x z)=-6 y\, x z.
  • Derivada de 4 x y z em relação a y: x z é constante; derivada de 4 y é 4. Assim \dfrac{\partial}{\partial y}(4 x y z)=4 x z.
Somando:
\dfrac{\partial f}{\partial y}=-6 x y z+4 x z.
Podemos fatorar x z:
\dfrac{\partial f}{\partial y}=x z\bigl(4-6 y\bigr).

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial z}.
Derivamos em relação a z, tratando x e y como constantes.
O termo a termo:
  • Derivada de x z em relação a z: x é constante, então \dfrac{\partial}{\partial z}(x z)=x.
  • Derivada de -3 y^{2} x z em relação a z: -3 y^{2} x é constante, então \dfrac{\partial}{\partial z}(-3 y^{2} x z)=-3 y^{2} x.
  • Derivada de 4 x y z em relação a z: 4 x y é constante, então \dfrac{\partial}{\partial z}(4 x y z)=4 x y.
Somando:
\dfrac{\partial f}{\partial z}=x-3 y^{2} x+4 x y.
Podemos fatorar x:
\dfrac{\partial f}{\partial z}=x\bigl(1-3 y^{2}+4 y\bigr).

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}=z\bigl(1-3 y^{2}+4 y\bigr)
\dfrac{\partial f}{\partial y}=x z\bigl(4-6 y\bigr)
\dfrac{\partial f}{\partial z}=x\bigl(1-3 y^{2}+4 y\bigr)

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