Determine as derivadas parciais das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar as derivadas parciais. Ou seja, calcular:
-
, -
, -
.
As informações relevantes que temos: a expressão algébrica de
(cada termo é um monômio em
). Nada mais é fornecido.
Passo 2
Conceito e ferramentas que vamos usar (explicação didática e simples).
- A derivada parcial de
em relação a uma variável (por exemplo ) é a taxa de variação de quando apenas varia e as demais variáveis ficam fixas. Ou seja, ao calcular tratamos e como constantes. - Regras básicas usadas aqui:
- Derivada de soma é soma das derivadas (linearidade).
- Se uma expressão é
com constante, a derivada em relação a é (regra da potência). No nosso caso os termos são monômios do tipo constante produto de variáveis; ao derivar em relação a uma variável, as outras aparecem como constantes multiplicativas. - Derivada de
em relação a é . Em geral, ao derivar em relação a aplicamos a regra da potência mantendo fatores que não dependem de como constantes.
Vamos aplicar isso termo a termo na função.
Passo 3
Cálculo de
.
Trata-se de derivar cada termo em relação a , mantendo
e
constantes.
Trata-se de derivar cada termo em relação a
O termo a termo:
- Derivada de
em relação a : como é constante, . - Derivada de
em relação a : é constante, então . - Derivada de
em relação a : é constante, então .
Somando:
Podemos fatorar
:
Passo 4
Cálculo de
.
Agora derivamos em relação a , tratando
e
como constantes.
Agora derivamos em relação a
O termo a termo:
- Derivada de
em relação a : como não depende de , . - Derivada de
em relação a : é constante; derivada de é . Assim . - Derivada de
em relação a : é constante; derivada de é . Assim .
Somando:
Podemos fatorar
:
Passo 5
Cálculo de
.
Derivamos em relação a , tratando
e
como constantes.
Derivamos em relação a
O termo a termo:
- Derivada de
em relação a : é constante, então . - Derivada de
em relação a : é constante, então . - Derivada de
em relação a : é constante, então .
Somando:
Podemos fatorar
: