Determine as derivadas parciais das funções abaixo.
f(x, y, z)=\frac{2 x y z}{x{2}+y{2}+z^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de uma função de três variáveis. As informações dadas são:
  • A função é f(x,y,z)=\dfrac{2 x y z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
  • Deve-se encontrar \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y} e \dfrac{\partial f}{\partial z}.
  • Observação sobre o domínio: o denominador x^{2}+y^{2}+z^{2} não pode ser zero, portanto a função está definida para todos os pontos (x,y,z) tais que (x,y,z)\neq(0,0,0).

Passo 2

Conceito e ferramenta que vamos usar (explicação didática): ao calcular uma derivada parcial em relação a uma variável, tratamos as outras como constantes. Aqui a função é uma razão, então aplicaremos a regra do quociente para derivadas parciais.
Regra do quociente (para funções u(x,y,z) e v(x,y,z) com v\neq0):
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\frac{\partial u}{\partial x}-u\frac{\partial v}{\partial x}}{v^{2}}.
Explicando: \frac{\partial u}{\partial x} é a derivada parcial do numerador em relação a x, mantendo y e z fixos; \frac{\partial v}{\partial x} é a derivada parcial do denominador em relação a x.
No nosso caso definimos:
u(x,y,z)=2xyz,\qquad v(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
Antes de aplicar a fórmula, vamos calcular as derivadas parciais de u e v em relação a cada variável (isso usa a regra do produto quando necessário).

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}.
Primeiro calcule as derivadas parciais de u e v em relação a x:
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(2xyz)=2yz, \qquad \frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2}+z^{2})=2x.
Agora aplique a regra do quociente:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{v\cdot\frac{\partial u}{\partial x}-u\cdot\frac{\partial v}{\partial x}}{v^{2}} =\frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})(2yz)- (2xyz)(2x)}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}.
Simplificando o numerador passo a passo:
\text{num}=2yz(x^{2}+y^{2}+z^{2})-4x^{2}yz =2yz\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x^{2}\bigr) =2yz\bigl(-x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr).
Portanto:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{2yz\bigl(y^{2}+z^{2}-x^{2}\bigr)}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Derivadas parciais de u e v em relação a y:
\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2xyz)=2xz, \qquad \frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2}+z^{2})=2y.
Aplicando a regra do quociente:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})(2xz)- (2xyz)(2y)}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}.
Simplificando o numerador:
\text{num}=2xz(x^{2}+y^{2}+z^{2})-4xy^{2}z =2xz\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}-2y^{2}\bigr) =2xz\bigl(x^{2}-y^{2}+z^{2}\bigr).
Portanto:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{2xz\bigl(x^{2}+z^{2}-y^{2}\bigr)}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}.

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial z}.
Derivadas parciais de u e v em relação a z:
\frac{\partial u}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(2xyz)=2xy, \qquad \frac{\partial v}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(x^{2}+y^{2}+z^{2})=2z.
Aplicando a regra do quociente:
\frac{\partial f}{\partial z} =\frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})(2xy)- (2xyz)(2z)}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}.
Simplificando o numerador:
\text{num}=2xy(x^{2}+y^{2}+z^{2})-4xyz^{2} =2xy\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}-2z^{2}\bigr) =2xy\bigl(x^{2}+y^{2}-z^{2}\bigr).
Portanto:
\frac{\partial f}{\partial z} =\frac{2xy\bigl(x^{2}+y^{2}-z^{2}\bigr)}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}.

Passo 6

Observações finais e dica para a prova:
  • As três derivadas parciais apresentam forma semelhante e podem ser memorizadas pela simetria: cada derivada tem o produto dos dois outros símbolos multiplicado pela combinação quadrática que resulta da diferença do quadrado da variável diferenciada em relação à soma dos quadrados.
  • Lembre-se de que essas expressões só valem quando (x,y,z)\neq(0,0,0) porque o denominador não pode ser zero.
  • Se precisar conferir rapidamente durante a prova, calcule o numerador usando a regra do quociente passo a passo (calcule \partial u/\partial\cdot e \partial v/\partial\cdot e aplique a fórmula).

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2yz\bigl(y^{2}+z^{2}-x^{2}\bigr)}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{2xz\bigl(x^{2}+z^{2}-y^{2}\bigr)}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}
\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{2xy\bigl(x^{2}+y^{2}-z^{2}\bigr)}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}

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