Determine as derivadas parciais das funções abaixo.
f(x, y, z)=\frac{2 x y z}{x{2}+y{2}+z^{2}}
f(x, y, z)=\frac{2 x y z}{x{2}+y{2}+z^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de uma função de três variáveis. As informações dadas são:
- A função é
. - Deve-se encontrar
, e . - Observação sobre o domínio: o denominador
não pode ser zero, portanto a função está definida para todos os pontos tais que .
Passo 2
Conceito e ferramenta que vamos usar (explicação didática): ao calcular uma derivada parcial em relação a uma variável, tratamos as outras como constantes. Aqui a função é uma razão, então aplicaremos a regra do quociente para derivadas parciais.
Regra do quociente (para funções
e
com
):
Explicando:
é a derivada parcial do numerador em relação a
, mantendo
e
fixos;
é a derivada parcial do denominador em relação a
.
No nosso caso definimos:
Antes de aplicar a fórmula, vamos calcular as derivadas parciais de
e
em relação a cada variável (isso usa a regra do produto quando necessário).
Passo 3
Cálculo de
.
Primeiro calcule as derivadas parciais de
e
em relação a
:
Agora aplique a regra do quociente:
Simplificando o numerador passo a passo:
Portanto:
Passo 4
Cálculo de
.
Derivadas parciais de
e
em relação a
:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Portanto:
Passo 5
Cálculo de
.
Derivadas parciais de
e
em relação a
:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Portanto:
Passo 6
Observações finais e dica para a prova:
- As três derivadas parciais apresentam forma semelhante e podem ser memorizadas pela simetria: cada derivada tem o produto dos dois outros símbolos multiplicado pela combinação quadrática que resulta da diferença do quadrado da variável diferenciada em relação à soma dos quadrados.
- Lembre-se de que essas expressões só valem quando
porque o denominador não pode ser zero. - Se precisar conferir rapidamente durante a prova, calcule o numerador usando a regra do quociente passo a passo (calcule
e e aplique a fórmula).