Seja
.
(a) Mostre que
é diferenciável em
.
(b) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
(a) Mostre que
(b) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) Mostrar que
é diferenciável em . - (b) Determinar a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto .
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função está escrita em termos de
, portanto é necessário que no domínio considerado (isto é, e têm o mesmo sinal). O ponto pertence ao domínio (ambos positivos), então faz sentido estudar diferenciabilidade ali. - O ponto de interesse no gráfico é
(isto implica que ; esta igualdade decorre diretamente da fórmula porque , mas deixarei a verificação explícita para os passos seguintes).
Passo 2
Vamos lembrar o que significa "ser diferenciável em
" e um critério prático que usaremos.
Definição (intuitiva):
é diferenciável em
se existe uma aproximação linear que dá a melhor aproximação de
perto desse ponto. Mais formalmente, existe um aplicativo linear
tal que, para
pequeno,
O aplicativo linear
é dado pelas derivadas parciais no ponto:
Teorema útil (suficiente e prático): se as derivadas parciais
e
existem em uma vizinhança de
e são contínuas em
, então
é diferenciável em
. Este é o critério que vou usar — por ser o mais direto para aplicações em provas.
Antes de aplicar o teorema, precisamos calcular
e
e verificar que são contínuas perto de
.
Passo 3
Para facilitar as derivadas, primeiro escrevo
. Assim
Agora calculo
(derivada parcial em relação a
), tratando
como constante.
Derivo termo a termo:
- Para
: como e são constantes ao derivar em , a derivada é . - Para
: aqui uso a regra do produto para a função . Sabemos que
Multiplicando por
(que é constante em
), a derivada do segundo termo é
.
Subtraindo, obtemos
Podemos reescrever em termos de
:
Passo 4
Agora calculo
(derivada parcial em relação a
), tratando
como constante. Parto da forma
Derivo termo a termo:
- Para
: aqui é constante, e preciso derivar . Uso produto :
Multiplicando por
, a contribuição é
.
- Para
: é constante quando derivamos em , então a derivada é .
Somando,
Usando
, podemos escrever
Passo 5
Avalio as derivadas no ponto
.
Se
, então:
Também confirmo
, o que justifica o ponto
no gráfico.
O aplicativo linear que aproxima
em
é
Passo 6
Agora justifico a diferenciabilidade usando o critério de continuidade das derivadas parciais.
Observe as fórmulas obtidas:
Essas expressões são combinações (produto, soma, composição) de funções elementares: polinômios em
e a função
aplicada a
. Essas funções são contínuas em qualquer ponto onde
(ou seja,
e
do mesmo sinal). Em particular, são contínuas numa vizinhança de
. Portanto
e
existem numa vizinhança de
e são contínuas em
.
Pelo teorema citado no Passo 2, isso garante que
é diferenciável em
. (Se quisermos, poderíamos também provar diretamente a propriedade limite da definição de diferenciabilidade, mas o critério da continuidade das parciais é o mais direto em provas.)
Passo 7
Com a diferenciabilidade e as derivadas no ponto já calculadas, a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
é dada pela fórmula clássica
Substituindo
,
e
, obtemos
Simplificando,
Verificação rápida: para
temos
, compatível com o ponto
.