Seja f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} a função dada por f(x, y)=y^{3}+x^{2}-12 x y+5.
(a) Mostre que A=(0,0) é um ponto crítico de f.
(b) Determine o polinômio de Taylor de grau 2 de f no ponto A=(0,0).
(c) Determine as coordenadas do ponto B \neq A que é o outro ponto crítico de f.
(d) Classifique o ponto crítico B, mencionado no item anterior, quanto a máximo local, mínimo local ou sela.
e pede quatro coisas:
(a) mostrar que A=(0,0) é um ponto crítico de f;
(b) determinar o polinômio de Taylor de grau 2 de f no ponto A=(0,0);
(c) encontrar as coordenadas do outro ponto crítico B\neq A;
(d) classificar esse ponto crítico B (máximo local, mínimo local ou sela).
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a expressão de f(x,y) (já escrita acima). Não há mais dados externos.
Passo 2
O que é um ponto crítico (lembrando devagar e com carinho): um ponto (x_0,y_0) é ponto crítico de f se o gradiente de f em (x_0,y_0) for o vetor nulo. O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
Como as duas componentes do gradiente em A são zero, \nabla f(0,0)=(0,0). Isso mostra que A=(0,0) é um ponto crítico de f. (Isto responde o item (a).)
Passo 4
Agora vamos construir o polinômio de Taylor de grau 2 de f em torno de A=(0,0). Regra geral (vou explicar devagar): o polinômio de Taylor de ordem 2 de uma função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} em (0,0) é
onde H_f(0,0) é a matriz Hessiana (a matriz das segundas derivadas) avaliada em (0,0). Aqui \nabla f(0,0)\cdot (x,y) é o produto escalar das derivadas primeiras com o vetor deslocamento (x,y). Vou calcular passo a passo.
Passo 5
Calculemos as segundas derivadas (componentes da Hessiana). Derivando as primeiras derivadas:
Multiplicando por \tfrac{1}{2} obtemos o termo quadrático
\frac{1}{2}\bigl(2x^{2}-24xy\bigr)=x^{2}-12xy.
Portanto o polinômio de Taylor de grau 2 é
P_2(x,y)=5 + x^{2}-12xy.
(Isto responde o item (b).)
Passo 7
Agora encontro todos os pontos críticos resolvendo \nabla f(x,y)=(0,0). As equações são
2x-12y=0,\qquad 3y^{2}-12x=0.
Da primeira equação vem 2x=12y, logo
x=6y.
Substituo x=6y na segunda equação:
3y^{2}-12(6y)=3y^{2}-72y=3y(y-24)=0.
Assim as soluções para y são y=0 ou y=24.
Se y=0 então x=6\cdot 0=0, que é o ponto A=(0,0) (já conhecido).
Se y=24 então x=6\cdot 24=144. Portanto existe outro ponto crítico
B=(144,24),
que é o pedido no item (c).
Passo 8
Por fim classifico o ponto crítico B=(144,24). Uso o teste das derivadas segundas em duas variáveis: para uma função f duas vezes diferenciável, em um ponto crítico (x_0,y_0) a matriz Hessiana determina a natureza do ponto via seus menores principais:
Se \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0,y_0)>0 e \det H_f(x_0,y_0)>0, então f tem mínimo local em (x_0,y_0).
Se \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0,y_0)<0 e \det H_f(x_0,y_0)>0, então é máximo local.
Se \det H_f(x_0,y_0)<0, é ponto de sela.
Calculo os elementos da Hessiana em B. Já tínhamos as fórmulas:
Como a primeira segunda derivada é positiva e o determinante da Hessiana é positivo, concluímos que H_f(144,24) é definida positiva, e portanto B=(144,24) é um mínimo local de f. (Isto responde o item (d).)
Resposta
(a) A=(0,0) é ponto crítico de f.
(b) P_{2}(x,y)=5 + x^{2}-12xy.
(c) B=(144,24).
(d) B é um mínimo local.