Seja
a função dada por
.
(a) Mostre que
é um ponto crítico de
.
(b) Determine o polinômio de Taylor de grau 2 de
no ponto
.
(c) Determine as coordenadas do ponto
que é o outro ponto crítico de
.
(d) Classifique o ponto crítico
, mencionado no item anterior, quanto a máximo local, mínimo local ou sela.
(a) Mostre que
(b) Determine o polinômio de Taylor de grau 2 de
(c) Determine as coordenadas do ponto
(d) Classifique o ponto crítico
Passo 1
O enunciado dá a função
As perguntas são:
(a) Mostrar que é um ponto crítico de
.
(b) Determinar o polinômio de Taylor de grau de
no ponto
.
(c) Determinar as coordenadas do ponto que é o outro ponto crítico de
.
(d) Classificar o ponto crítico como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
(a) Mostrar que
(b) Determinar o polinômio de Taylor de grau
(c) Determinar as coordenadas do ponto
(d) Classificar o ponto crítico
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de
. Não há outras restrições.
Passo 2
Conceito importante (passo-a-passo): um ponto
é ponto crítico de
se as derivadas parciais primeiras de
em
forem ambas zero. Ou seja, se o gradiente
anula em
.
Vamos calcular as derivadas parciais de
. Diferenciando termo a termo:
Agora avaliamos em
. Substituindo
e
:
Como ambas as derivadas parciais valem zero em
, concluímos que
é um ponto crítico de
.
Passo 3
Conceito importante: polinômio de Taylor de grau
de
em
é a aproximação quadrática dada por
Aqui
são as derivadas parciais primeiras e
são as segundas derivadas parciais; a fórmula é a versão multivariada truncada da expansão de Taylor até termos quadráticos.
Vamos calcular as segundas derivadas de
. Derivando as parciais encontradas:
Avaliamo-las em
:
Também precisamos de
e das derivadas primeiras em
, que já calculamos:
e
.
Substituindo na fórmula do polinômio de Taylor de grau
centrado em
(aqui
), obtemos:
Simplificando o parêntese:
Passo 4
Agora vamos achar todos os pontos críticos resolvendo o sistema
Da segunda equação isolamos
:
Substituímos na primeira equação:
Dividindo por
(ou fatorando) obtemos
Logo
ou
.
- Se
, então , que é o ponto já conhecido. - Se
, então . Assim o outro ponto crítico é
Passo 5
Para classificar um ponto crítico em duas variáveis usamos a matriz Hessiana (matriz das segundas derivadas) em cada ponto crítico:
A regra usual (teste da segunda derivada bivariado) é:
- Se
e então mínimo local. - Se
e então máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Já temos as expressões gerais das segundas derivadas:
Logo a Hessiana geral é
Passo 6
Vamos avaliar
em
. Substituindo
:
Portanto
Calculamos o determinante:
Aqui
e
. Pela regra do teste da segunda derivada, quando o determinante é positivo e
, o ponto crítico é um máximo local.
Intuição rápida: o sinal negativo de
(direção
) e a positividade do determinante garantem que a forma quadrática associada seja definida negativa, produzindo um pico local.]
Resposta
(a)
é um ponto crítico de
.\n
(b) .\n
(c) .\n
(d) é um máximo local.
(b)
(c)
(d)