Seja
f(x, y)=x-y \sin \left(\pi\left(x^{2}+y^{2}\right)\right) .
  1. Calcule a derivada direcional de f no ponto (0,0) na direção de \mathbf{v}=(1 / 2, \sqrt{3} / 2).
  2. Em que direção a taxa de variação de f no ponto (0,0) émáxima? Qual é o valor da taxa máxima nesse ponto?

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)=x - y\sin\!\bigl(\pi(x^2+y^2)\bigr)
e pede (1) a derivada direcional de f em (0,0) na direção \mathbf v=(\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}2) e (2)/(3) em que direção a variação é máxima em (0,0) e qual é o valor dessa taxa máxima. Vamos usar que, se f é diferenciável,
D_{\mathbf u}f(0,0)=\nabla f(0,0)\cdot\mathbf u,
onde \mathbf u é vetor unitário.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais por definição no ponto (0,0). Primeiro
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\bigl(h-0\cdot\sin(\pi h^2)\bigr)-0}{h} =\lim_{h\to0}\frac{h}{h}=1.
Depois
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\bigl(0 - h\sin(\pi h^2)\bigr)-0}{h} =-\lim_{h\to0}\sin(\pi h^2)=0.
Assim
\nabla f(0,0)=(1,0).

Passo 3

Como \mathbf v já é unitário,
D_{\mathbf v}f(0,0) =\nabla f(0,0)\cdot\mathbf v =(1,0)\cdot\Bigl(\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}2\Bigr) =\tfrac12.

Passo 4

A direção de máxima taxa de variação de f em (0,0) é a direção de \nabla f(0,0), isto é, o vetor (1,0). O valor dessa taxa máxima é o módulo de \nabla f(0,0):
\|\nabla f(0,0)\| = \sqrt{1^2+0^2}=1.

Resposta

  1. D_{\mathbf v}f(0,0)=\tfrac12.
  2. A direção de variação máxima em (0,0) é (1,0) e a taxa máxima é 1.

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