Seja
f(x, y)= x^3 y-x y^3x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
Trace o gráfico de f utilizando algum programa computacional.
Após isso, determine fx e fy nos pontos (x, y) neq(0,0).

Passo 1

A função é dada por
f(x,y)=x^3y-xy^3x^2+y^2&(x,y)neq(0,0)0&(x,y)=(0,0)
O conteúdo envolve derivadas parciais de uma função de duas variáveis e vamos usar a regra do quociente para calcular fx e fy quando (x,y)neq(0,0).

Passo 2

Para visualizar o gráfico de f você pode usar, por exemplo, Python com matplotlib e numpy: escreva uma grade de pontos em x,y, compute f(x,y) e utilize ax.plot_surface(X,Y,Z) para ver a superfície.

Passo 3

Vamos chamar de
N(x,y)=x^3y-xy^3,
e de
D(x,y)=x^2+y^2
Pela regra do quociente
fx=NxD-NDxD^2

Passo 4

Compute-se
Nx=3x^2y-y^3,
Dx=2x,
e substitui-se:
fx=(3x^2y-y^3)(x^2+y^2)-(x^3y-xy^3)cdot2x(x^2+y^2)^2

Passo 5

Agora simplificamos o numerador:
(3x^2y-y^3)(x^2+y^2)=3x^4y+2x^2y^3-y^5,
(x^3y-xy^3)2x=2x^4y-2x^2y^3,
subtraindo:
x^4y+4x^2y^3-y^5
Logo
fx(x,y)=x^4y+4x^2y^3-y^5(x^2+y^2)^2

Passo 6

Para fy usamos a mesma ideia:
fy=NyD-NDyD^2

Passo 7

Calcula-se
Ny=x^3-3xy^2,
Dy=2y,
substituindo:
fy=(x^3-3xy^2)(x^2+y^2)-(x^3y-xy^3)cdot2y(x^2+y^2)^2

Passo 8

Simplificando o numerador:
(x^3-3xy^2)(x^2+y^2)=x^5-2x^3y^2-3xy^4,
(x^3y-xy^3)2y=2x^3y^2-2xy^4,
subtraindo:
x^5-4x^3y^2-xy^4
Portanto
fy(x,y)=x^5-4x^3y^2-xy^4(x^2+y^2)^2

Resposta

fx(x,y)=x^4y+4x^2y^3-y^5(x^2+y^2)^2, fy(x,y)=x^5-4x^3y^2-xy^4(x^2+y^2)^2

Exercícios relacionados